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Full text of "Fundamentos Da Matemática Elementar Análise Combinatória, Binômio De Newton E Probabilidade"

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SAMUEL HAZZAN 


FUNDAMENTOS DE _ 

MATEMATICA 

ELEMENTAR 

COMBINATÓRIA PROBABILIDADE - 

43 Exercícios resolvidos 
290 Exercícios propostos - com resposta 
149 Testes de Vestibulares - com resposta 



ATUAL 

EDITORA 




Capa 

Roberto Franklin Rondino 
Sylvio Ulhoa Cintra Filho 
Rua Inhambu, 1235 — S. Paulo 

Composição e desenhos 
AM Produções Gráficas Ltda. 

Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo 

Artes 

Atual Editora Ltda. 


Fotolitos 

H.O.P. Fotolitos Ltda. 

Rua Delmira Ferreira, 325 — S. Paulo 

Impressão e acabamento 
Gráfica Editora Hamburg Ltda. 

Rua Apeninos, 294 

278-1620 - 278-2648 - 279-9776 

São Paulo — SP — Brasil 

CIP-Brasil. Catalogação-naHFonte 
Câmara Brasileira do Livro, SP 


Fundamentos de matemática elementar fporj Gel- 
F977 aon Iezzi fe outros] São Paulo, 'Atual 

v.1-2, Ed., 1977- 

<♦-6 

Co-autores: Carlas Muraksmi, Osvaldo Dolce 
e Samuel Hazzan; a autoria doa volumes Indi- 
viduais varia entre os 4 autores. ^ 

Conteúdo: v.l. Conluntos, funçõea.-v.2. 
Logaritmos. -v. 4. Seqüenciss, matrizes determi- 
nantes, sistemas. -v. 5. Combinatória, probabi- 
lidade. -u.G. Complexos, polinómios, equações. 

1. Matemática <2fl grau) 1. Dolce, Osvaldo, 
1936- II. Iezzi, Gelson, 1939- III. Hazzan, 
Samuel, 1946- IV. Murakaral, Carlos, 1943- 

77-1333 CDD-510 


índice para catalogo sistemático: 

1. Matemática 510 


Todos os direitos reservados a 
ATUAL EDITORA LTDA 
Rua José Antônio Coelho, 785 
Telefones: 71-7795 e 549-1720 
CEP 04011 - São Paulo - SP - Brasil 


APRESENTAÇÃO 


"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes 
elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática, 
ao nfvel da escola de 2? grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para 
o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames 
vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e 
também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interressados na "rainha 
das ciências". 

No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de "Fundamentos" 
procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades. 
Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições 
e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações. 

Na estruturação das séries de exercícios, buscamos sempre uma ordenação 
crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões 
que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A 
seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exercícios. Os exercícios 
resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação 
sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar 
a resposta para cada problema proposto e assim, ter seu reforço positivo ou partir 
à procura do erro cometido. 

A última parte de cada volume é constituída por testes de vestibulares até 
1 .977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria 
estudada. 

Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando 
Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagear 
nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas 
vidas e sua obras. 

Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores 
e o valor de sua obra, gostarfamos de receber dos colegas professores uma apre- 
ciação sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, os quais agra- 
decemos. 


Os autores 




ÍNDICE 


CAPITULO I - ANÁLISE COMBINATÓRIA 

í. Introdução 1-E 

II. Princípio fundamental da contagem 2-E 

III. Conseqüências do princípio fundamental da contagem 1 2-E 

IV. Arranjos com repetição 12-E 

V. Arranjos 13-E 

VI. Permutações 14-E 

VII. Fatorial 1 5-E 

VIII. Combinações 26-E 

IX. Permutações com elementos repetidos 34-E 

X. Complementos 40 -E 

CAPITULO II - BINÔMIO DE NEWTON 

I. Introdução 47-E 

II. Teorema binomial . .’ 50-E 

III. Observações 53-E 

VI. Triângulo aritmético de Pascal (ou de Tartaglia) 57-E 

V. Expansão multinomial 65-E 

CAPITULO III - PROBABILIDADE 

I. Experimento aleatório 69-E 

II. Espaço amostrai 70-E 

III. Evento 71 -E 

IV. Combinação de eventos 73-E 

V. Freqüência relativa 76-E 

VI. Definição de probabilidade 77-E 

VII. Teoremas sobre probabilidades em espaço amostrai finito 80-E 



VIII. Espaços amostrais equiprováveis 85-E 

IX. Probabilidade de um evento num espaço equiprovável 86-E 

X. Probabilidade condicional 94-E 

XI. Teorema da multiplicação 99-E 

XII. Teorema da probabilidade total 102-E 

XIII. Independência de dois eventos 108-E 

XIV. Independência de três ou mais eventos 109-E 

XV. Lei binomial da probabilidade 114-E 

RESPOSTAS DE EXERCÍCIOS 121-E 

TESTES 129-E 

RESPOSTAS DOS TESTES 149-E 


John Von Neumann 
(1903 - 1957 ) 



CAPÍTULO I 


Computadores — as máquinas com memória 


John Von Neumann nasceu em Budapeste; foi professor em Berlim e 
Hamburgo. 

Em 1930, indo para a América do Norte, tornou-se juntamente com Einstein, 
um dos primeiros membros permanentes do Instituto de Estudos Avançados. 

Em 1944 e 1946, Von Neumann ajudou a preparar o relatório para o exército 
sobre capacidade dos computadores e em 1949 o primeiro computador com progra- 
ma em reserva passou a ser utilizado. 

A era da computação eletrônica começou por volta de 1925 no Instituto de 
Tecnologia de Massachusetts (MJ.T.) onde se construiu uma grande calculadora 
com motores elétricos e uma parte mecânica mas ainda muito vagarosa. 

Em 1930, a International Business Machines Corporation (IBM) construiu o 
MARK I, uma calculadora eletromecânica totalmente automática, superada logo 
depois pelo ENIAC que era baseado em fluxo de elétrons através de tubos de 
vácuo, construído devido às necessidades militares da época sendo que um dos 
responsáveis pelo projeto foi Von Neumann. 

Em 1951 surgiu o UNI VAC I, hoje ultrapassado. 

Von Neumann é considerado um dos mais versáteis e criativos matemáticos, 
o primeiro a dar um tratamento novo à Matemática Econômica. Sua obra "Teoria 
dos Jogos e Conduta Econômica" , de 1944, teve papel fundamental no desenvolvi- 
mento das Ciências Sociais. 

Juntamente com Wiener, dedicou-se à teoria quântica sendo nomeado em 
1955 para a Comissão de Energia Atômica Americana. 

Von Neumann não só se dedicou à Matemática Aplicada como também fez 
muitas contribuições à Matemática Pura, em Teoria dos Conjuntos, Teoria dos 
Grupos, Cálculo Operacional, Probabilidades, Lógica Matemática e Fundamentos. 

Em 1929 deu ao "espaço de Hilbert" esse nome e seus principais axiomas 
bem como sua forma abstrata atual, mostrando valorizar as descobertas anteriores 
sobre as quais expandiu seu campo de pesquisas. 


ANÁLISE COMBINA TÓRIA 


I. INTRODUÇÃO 

1. A análise combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o nú- 
mero de elementos de um conjunto, sendo estes elementos, agrupamentos formados 
sob certas condições. 

A primeira vista pode parecer desnecessária a existência destes métodos. 
Isto de fato é verdade, se o número de elementos que queremos contar for pe- 
queno. Entretanto, se o número de elementos a serem contados for grande, esse 
trabalho torna-se quase que impossível, sem o uso de métodos especiais. 

Vejamos alguns exemplos. Usaremos a notação $ M para indicar o número de 
elementos de um conjunto M. 


2. Exemplos 


19) A é o conjunto de números de dois algarismos distintos formados a 
partir dos dígitos 1, 2 e 3. 

A - {12, 13, 21, 23, 31, 32} e #A = 6 
29) B é o conjunto das diagonais de um heptágono 

b = {p7p 3 , P7P 5 , PÍPô. Wa. FVV ÍVV p 4 

pTp 7 , p7p 5 , pIp 6 , pIp 7 . évy ^p 7 , fvM 



39) C é o conjunto das seqüências de letras que se obtêm, mudando-se a or- 
dem das letras da palavra ARI (anagramas da palavra ARI). 

C - {AR I, AIR, IRA, IAR, R Al, RIA}e#C = 6 
49) D é o conjunto de números de três algarismos, todos distintos, formados 
a partir dos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 

D = {123, 124, 125 875, 876} 

Pode-se perceber que é trabalhoso obter todos os elementos (agrupamentos) 
deste conjunto e depois contá-los. Corre-se risco de haver omissão ou repetição de 
agrupamentos. Usando técnicas que iremos estudar adiante, veremos que #D = 336. 


1-E 



II. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 


3. Tal principio consta de duas partes (A e B) ligeiramente diferentes. Antes de 
enunciar e demonstrar este princípio, vamos provar dois lemas (teoremas auxiliares). 


4. Lema 1 

Consideremos os conjuntos A = {a 1# a 2 , . . . , a m } e B = {b^ b 2 , . . . , b n }. 
Podemos formar m • n pares ordenados (aj, bj) onde aj G A e bj G B. 


Demonstração 

Fixemos o primeiro elemento do par e façamos variar o segundo. 
Teremos: 


m 

linhas 


(a lt bj, (ai, b 2 ), . . (a Jf b n ) — * n pares 
(a 2 , b x ), (a 2l b 2 ) (a 2 , b n ) — ► n pares 

(a m , b x ), <a m , b 2 ), . . (a m , b n ) — ► n pares 


O número de pares ordenados é então v n + n + n + ... + n,= m*n 

v v 

m vezes 

Uma outra forma de visualisarmos os pares ordenados é através do diagrama 
abaixo, conhecido como diagrama seqüencial ou diagrama da árvore. 



pares 


2-E 


5. Exemplos 


19) Temos três cidades X, Y e Z. Existem quatro rodovias que ligam X 
com Y e cinco que ligam Y com Z. Partindo de X e passando por Y, de quantas for- 
mas podemos chegar até Z? 



Sejam: 

A o conjunto das rodovias que ligam X com Y e 
B o conjunto das rodovias que ligam Y com Z: 

A = {a x , a 2/ a 3 , a 4 } e B = {b l# b 2f b 3 , b 4 , b 5 }. 

Cada modo de efetuar a viagem de X até Z pode ser considerado como um 
par de estradas (aj, bj) onde a, G A e bj G B. 

Logo, o número de pares ordenados (ou de modos de viajar de X até Z) é 

4 • 5 = 20. 


Os caminhos possíveis podem ser obtidos no diagrama da árvore. 

Caminhos 



3-E 



29) Quantos números de dois algarismos (distintos ou não) podem ser for- 
mados, usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 

Cada número pode ser considerado um par de dígitos (a, b) onde 
a € {1,2, 3 8} eb €{1,2,3 8}. 

Logo o resultado procurado é 

8 • 8 = 64. 


6. Lema 2 

0 número de pares ordenados (aj, aj ) tais que 

aj € A = {ai, a 2 , . . . , a m },aj € A = {a!, a 2 , . . . , a m ) e aj ^ aj (para i ^ j) é 
m(m - 1) 


8. Parte A) O princípio fundamental da contagem 

Consideremos r conjuntos 
A = {ai, a 2 , . ■ • , a ni ) #A = r\i 

B = {b,,b 2 b^} #B = n 2 

Z = {zi, z 2 z nr } #Z = n r 

então, o número de r-uplas ordenadas (sequências de r elementos) do tipo 

(ai. bj z p ) 

onde aj G A, bj € B . . . Zp G Z é 

• n 2 * • • ■ • n r . 


Demonstração 

Fixemos o primeiro elemento do par, e façamos variar o segundo. 
Teremos: 

(ai, a 2 ), (aj, a 3 ), . . . (a lf a m ) (m - 1) pares 

(a 2 , aj), (a 2 , a 3 ), . . . (a 2 , a m ) -> (m - 1) pares 

(a m / a i h (ârrir a 2 ), ■ . . ( a rn » a m - 1 ) (m — 1) pares 

O número de pares é 

v (m - 1) + (m - 1) + . . . + (m - 1) ; = m • (m - 1 ) 

V v * J 

m vezes 


m 

linhas 


7. Exemplo 


Demonstração (Princípio da Indução Finita) 

Se r = 2 é imediato, pois caímos no lema 1 já visto. 

Suponhamos que a fórmula seja válida para o inteiro (r - 1) e provemos que 
daí decorre que ela seja válida para o inteiro r. 

Para (r - 1 ) tomemos as sequências de (r - 1 ) elementos (aj, bj, ... , , w^). 

Por hipótese de indução, existem 

nj . n 2 • . . . • n r _x seqüências e n r elementos pertencentes ao conjunto Z, 

Cada seqüência (aj, bj, . . . , W|<, z p ) consiste de uma seqüência (aj, bj, . . . , w^) 
e um elemento z p € Z. 

Portanto, pelo lema 1, o número de seqüências do tipo (aj, bj, . . . , w^, z p ) é 
(n! • n 2 . . . n r _i ) • n r = • n 2 • . . . * n r _i • n r . 

Segue-se então que o teorema é válido V r € N e r > 2. 


Quantos números com dois algarismos distintos podemos formar com os 
dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8? 

Cada número pode ser considerado um par de dígitos (a, b) onde 

a € {1, 2, 3 8}, b € {1, 2, 3 8} e a * b, 

então o resultado procurado será 8 • 7 = 56. 

Observemos que o diagrama de árvore pode ser usado para obtermos os 
números formados, notando apenas que, uma vez tomado um elemento na etapa 
do diagrama, ele não poderá aparecer na 2? etapa. 


9. Exemplo 

Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de seqüências possíveis de 
cara e coroa? 

Indiquemos por K o resultado cara eCo resultado coroa. 

Queremos o número de triplas ordenadas (a, b, c) onde 
a € {K, C} b € {K, C} e c € (K, C}, logo, o resultado procurado é 

2 • 2 . 2 = 8 . ' 


4-E 


5-E 



As seqüências podem ser obtidas através de um diagrama da árvore. 



resultados 

A 

(K, K, K) 
(K, K, C) 
(K, C, K) 
(K, C, C) 
(C, K, K) 
(C, K, C) 
<C. C, K) 
(C, C, C) 


10. Parte B) O princípio fundamental da contagem 


Consideremos um conjunto A com m(m > 2) elementos. Então o número 
r-uplas ordenadas (seqüências com r elementos) formadas com elementos distintos 
dois a dois de A é: 


(m - 1 ) • (m - 2) • . . . • [m - (r - 1 )]. 


r fatores 


Ou seja, se A = {a^ a 2 , . . . , a m } o número de seqüências do tipo 



r elementos 


com 


a; € A Vi € {1, 2 m} é 

aj a p para i =£ p 


.m • (m - 1) • . , . • [m - (r - 1 )] 


r fatores 


6-E 


A demonstração é feita por Indução Finita, de modo análogo, à feita na 
parte A. 


11. Exemplos 

19) Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem 
para o 19, 29 e 39 lugares? 

Cada resultado consta de uma tripla ordenada (a, b, c) onde a representa o 
atleta que chegou em 19 lugar, b o que chegou em segundo, eco que chegou em 
terceiro. 

a e b e c pertencem ao conjunto dos atletas ea^bj^ceb^c, 

Logo, o número de resultados possíveis é 

4-3-2 = 24. 


29) De quantos modos três pessoas podem ficar em fila indiana? 

Cada modo, corresponde a uma tripla ordenada de pessoas. Logo o resultado 
procurado é 


3 * 2 • 1 = 6 . 


Se chamarmos A, B e C as pessoas, os modos podem ser obtidos através do 
diagrama de árvore. 



modos 

A 

r 

(A, B, C) 
(A, C, B) 
(B, A, C) 
(B, C, A) 
(C, A, B) 
(C, B, A) 


7-E 



12. Observação 


Algumas vezes, o conjunto cujos elementos queremos contar consta de se- « 
qüências de tamanhos diferentes (isto é, o número de elementos das seqüências 
consideradas é diferente), o que impede o uso do princípio fundamental da con- 
tagem. Entretanto, usando o diagrama de árvore, podemos saber facilmente quantas 
são as seqüências. 

13. Exemplo 

Uma pessoa lança uma moeda sucessivamente até que ocorram duas caras 
consecutivas, ou quatro lançamentos sejam feitos, o que primeiro ocorrer. Quais as 
seqüências de resultados possíveis? 


Temos: 



Os resultados possíveis são: 


(K, K); (K, C, K, K); (K, C, K, C); (K, C, C, K); (K, C, C, C); (C, K, K); (C, K, C, K); 
(C, K, C, C); (C, C, K, K); (C, C, K, C); (C, C, C, K); (C, C, C, C); 

e o número de seqüências é 12. 


8-E 


exercícios 


E.1 Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só 
sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes 
de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição? 

Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma 
saia? 

Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser 
formados? 

E.4 Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e 
sair por uma porta diferente da que usou para entrar? 

i 

E.5 Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá 
ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos? 

E.6 De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário, cujas respos- 
tas para cada pergunta são: sim ou não? 

Solução 

Cada resposta do questionário todo, consta de uma sequência 

(®1. a 2 a 12> 

onde cada aj vale S (sim) ou INI (não). Além disso 

ai e a, = {s, n} 
a 2 G A 2 = {s. l\l} 

ai 2 G A 12 = {S, N} 

Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de seqüências do tipo acima é: 



1 2 vezes 


E 'jf Uma prova consta de 20 testes tipo Verdadeiro ou Falso. De quantas formas uma pessoa 

poderá responder os 20 testes? 

E.8 / Quantos anagramas podemos formar, batendo ao acaso em 6 teclas (escolhidas entre as 
26 existentes) numa máquina de escrever? Entre eles consta o anagrama TECTEC? 

E.9 (ENE) Num concurso para preenchimento de uma cátedra, apresentam-se 3 candidatos. 
A comissão julgadora é constituída de 5 membros, devendo cada examinador escolher 
exatamente um candidato. De quantos modos os votos desses examinadores podem ser 
dados? 


9-E 



E,ÍO Quantos números de 3 algarismos (iguais ou distintos) podemos formar com os dígitos 
/ 1,2, 3, 7, 8? 

E.lí Temos um conjunto de 10 nomes e outro de 20 sobrenomes. Quantas pessoas podem 


receber um nome e um sobrenome, com esses elementos? 


e .y^ cí 


nco moedas são lançadas. Quantas seqüências possíveis de caras e coroas existem? 


E.1 3/ beis dados são lançados simultaneamente. Quantas seqüências de resultados são possíveis, 
/ se considerarmos cada elemento da sequência como o número obtido em cada dado? 

E.1 4 Quantos números telefônicos com 7 dígitos podem ser formados, se usarmos os dígitos 
/ de 0 a 9? 

Solução 

Cada número telefônico consiste em uma seqüência de 7 dígitos do tipo: 

(ai, a 2 , • . - , a 7 ) onde aj 6 A t = {O, 1 , 2, . . . , 9} 

a 2 ÊAj = {0, 1,2 9} 


a 7 € A 7 = {o, 1, 2, 9} 

Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de seqüências é: 


10 • 10 • . . • 10 = 10 ' 


10 000 000 


; 15 As letras em código MORSE são formadas por seqüências de traços 
sendo permitidas repetições. Por exemplo: 

Quantas letras podem ser representadas: 
a) usando exatamente 3 símbolos? 
b) usando no máximo 8 símbolos? 


— ) e pontos ( • ) 


E .y6 Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal de eixos Ox e Oy 

/ Ele pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Quantas trajetórias 
ele pode percorrer se der exatamente 4 passos. 

Solução 

Notemos que cada trajetória consiste Y 

em uma quádrupla ordenada (ai, a 2 , a 3 , 

a 4 ) onde IM 

a,e{N, L}, a 2 e{N, L}, a 3 e{N, L}e L N 

a 4 e {n, l}. N 

Por exemplo, (N, L, N, N) corresponde q ~ X 

graficamente a: 

Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de trajetórias (quádruplas 
ordenadas) é2*2*2«2=16. 


10-E 


E.1? Resolver o problema anterior, se o homem der exatamente 6 passos. Dê o gráfico de 
^ 3 trajetórias possíveis. 

E.1 8 Quantos divisoras positivos tem o número 3 888 = 2 4 • 3 5 ? 

Solução 

Cada divisor é um número do tipo 2 a * • 3 a2 onde GE* £ {0, 1 , 2, 3,4} úfe £ {0, 1 , 2 # 3, 4, 5} 
Exemplo: 2 3 • 3 5 ; 2 o • 3 3 ; 2 2 • 3 o etc. 

Portanto, o número de divisores é o número de pares ordenados (Cti, <X 2 ) que, pelo 
Princípio Fundamental da Contagem, é: 

f ' 5*6 = 30. 

E v 19 Quantos divisores positivos tem o número N = 2 a * 3^ • 5 C • 7°*? 

/ 

E.20 Cada pedra de dominó é constituída de 2 números. As peças são simétricas, de sorte que 
o par de números não é ordenado. Exemplo: 

é o mesmo que 

Quantas peças diferentes podem ser formadas, se usarmos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 

E.21 A e B são conjuntos tais que #A = n e #B = r. Quantas funções f : A -► B existem? 

E.22 Em um baralho de 52 cartas, cinco cartas são escolhidas sucessiva mente. Quantas são as 
seqüências de resultados possíveis: 

a) se a escolha for feita com reposição? r * 

b) se a escolha for feita sem reposição? 




Solução 

a) Seja A o conjunto das cartas do baralho. Temos #A = 52. 

Cada escolha consta de uma seqüência do tipo 

(ai, a 2 , a 3 , a* 85) 

onde aj £ A, a 2 £ A, a 3 £ A, a 4 A, 35 A (pois a escolha foi feita com 
reposição). Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem (parte A), o número de 
seqüências é: 



b) Se a escolha é feita sem reposição então cada seqüência (aj, a 2( a 3 , a 4 , as) é tal que 
cada elemento pertence a A e são todos elementos distintos. 



11-E 





R23 Duas pessoas, Antônio e Benedito, praticam um jogo, onde em cada partida, há um 
único vencedor. O jogo é praticado até que um deles ganhe 2 partidas consecutivas ou 
4 partidas tenham sido jogadas, o que ocorrer primeiro. Quais as seqüências possíveis de 
ganhadores? 

{Sugestão: construa o diagrama da árvore) 

E.24 Uma urna tem 10 bolinhas numeradas 1 , 2, 3, . . . , 10. Três bolinhas são extraídas su- 
cessivamente, sem reposição. De quantas formas os números das bolinhas formam uma 
P.A. na ordem em que foram extraídas? 

{Sugestão: construa o diagrama da árvore) 


III. CONSEQUÊNCIAS DO PRINCfPIO FUNDAMENTAL DA CON- 
TAGEM 

O Princípio Fundamental da Contagem fornece-nos o instrumento básico 
para a Análise Combinatória, entretanto, sua aplicação direta na resolução de 
problemas pode às vezes tornar-se trabalhosa. Iremos então definir os vários modos 
de formarmos agrupamentos e, usando símbolos simplificativos, deduzir fórmulas 
que permitam a contagem dos mesmos, em cada caso particular a ser estudado. 


IV. ARRANJOS COM REPETIÇÃO 

14. Seja M um conjunto com m elementos, isto é, M = {a ít a 2# . . . , a m }. Cha- 
mamos arranjo com repetição dos m elementos, tomados r ar, toda r-upla ordenada 
(seqüência de tamanho r) formada com elementos de M não necessariamente 
distintos. 

15. Exemplo 

Uma urna contém uma bola vermelha (V), uma branca (B) e uma azul (A). 
Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna. Em seguida outra bola é 
extraída e observada sua cor. Quantas são as possíveis seqüências de cores ob- 
servadas? 

Temos: 

Cada seqüência é um par ordenado de cores (x, y) onde x, y £ M = \V, B, A}. 
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem (parte A), o número de pares é 

3*3 = 9. 


16. Fórmula do Número de Arranjos com Repetição 

Seja M =- {ai, a 2 , . . . , a m } e indiquemos por (AR) m r o número de arranjos 
com repetição de m elementos tomados r a r. 

Cada arranjo com repetição é uma seqüência de r elementos, onde cada 
elemento pertence a M. 



r elementos 

Pelo Princípio Fundamental da Contagem (parte A), o número de arranjos 
(AR) m r será 


( A R ) m r = * m • . . . • m y = m r 

v V / 

r vezes 


Observemos que se r = 1, (AR) m l = m e a fórmula acima continua válida 
Y r G M* 


V. ARRANJOS 

17. Seja M um conjunto com m elementos, isto é M = {a^ a 2 , . . . , a m }. Cha- 
mamos de arranjo dos m elementos tomados r ar (1 < r < m) a qualquer r'upla 
(seqüência de r elementos) formada com elementos de M todos distintos. 


18. Exemplo 


M = {a, b, c, d}. 

Os arranjos dos quatro elementos de M, tomados dois a dois, são os pares 
ordenados (x, y) formados com elementos distintos de M. 

Pelo Princípio Fundamental da Contagem (parte B), o número de pares 
ordenados é: 


4 • 3 = 12. 


12-E 


13-E 




19. Fórmula do Número de Arranjos 

Seja M = {a l# a 2 , . . . , a m } e indiquemos por A m r o número de arranjos dos 
m elementos tomados rar. 

Cada arranjo é uma seqüência de r elementos, onde cada elemento pertence a 
M, e são todos distintos. 



r elementos 


Pelo Princípio Fundamental da Contagem (parte B) o número de arranjos 
A m r será 


A m,r =, m ' < m " D [m- (r- 1)] 

v — y — — — 

r fatores 


Em particular, se r = 1, é fácil perceber que A m#1 = m. 

Notemos ainda que de acordo com a definição que demos de arranjo, temos 
necessariamente que 1 < r < m. 

20. Exemplo 

De um baralho de 52 cartas, 3 cartas são retiradas sucessivamente e sem 
reposição. Quantas seqüências de cartas são possíveis de se obter? 

Notemos que cada resultado é uma tripla ordenada de cartas (x, y, z) onde 
x é a 1? carta extraída, y a 2? e z a 3?. Observemos que x, y, z são todas distintas 
visto que a extração é feita sem reposição. 

Logo, o número que queremos é A 52 , 3 isto é 

A S23 = 52 . 51 • 50 = 132 600 
3 fatores 


VI. PERMUTAÇÕES 

21. áeja M um conjunto com m elementos, isto é, M = {a lr a 2 , . . . , a m }. Cha- 
mamos de permutação dos m elementos a todo arranjo em que r = m. 


22. Exemplo 

Seja M = {a, b, c} 

As permutações dos elementos de M, são todos os arranjos constituídos de 
3 elementos. 

São eles: 

(a, b, c) (b, a, c) (c, a, b) (a, c, b) (b, c, a) (c, b, a). 

23. Fórmula do Número de Permutações 

Seja M o conjunto M = {a lt a 2 , . . . , a m } e indiquemos por P m o número de 
permutações dos m elementos de M. 

Temos: 

Pm = A m,m, logo 

P m = m(m-1) • (m-2) «... ■ [m - (m - 1 (] 

P m w m • {m - 1)- • (m - 2) • . . . • 3 • 2 • 1 

Em particular se m = 1 é fácil perceber que Pi = 1. 

24. Exemplo 

De quantas formas podem 5 pessoas ficar em fila indiana? 

Notemos que cada forma de ficar em fila indiana, é uma permutação das 
5 pessoas. O número de permutações (modos de ficar em fila indiana) será: 

P 5 = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120. 

VII. FATORIAL 

25. Afim de simplificar as fórmulas do número de arranjos e do número de 
permutações, bem como outras que iremos estudar, vamos definir o símbolo 
fatorial. 

Seja m um número inteiro não negativo (m G N) definimos fatorial dem 
(e indicamos por m!) através da relação: 


14-E 


15-E 




m! = m • (m - 1 ) • (m - 2) • . . . • 3 • 2 • 1 para m > 2 
1 ! = 1 
0 ! = 1 


29. As fórmulas do número de arranjos e do número de permutações, também 
podem ser simplificadas com a notação fatorial. 

De fato: 


As definições 1! e 0! serão justificadas posteriormente. 


P m = m * (m ~ 1 ) * . . . • 3 • 2 * 1 = m! 


26. Exemplo 


3! = 3-2*1 = 6 

4 ! = 4 . 3 . 2 ♦ 1 =24 

5! = 5 ■ 4 • 3 * 2 • 1 = 120. 


27. O cálculo de m! diretamente, torna-se trabalhoso a medida que m aumenta. 
(10! = 3 628 800) 

Entretanto, muitos cálculos podem ser simplificados se notarmos que 
(n + 1 )! = (n + 1 ) • n ♦ (n - 1 ) • . . . - 3 - 2*1 = (n + 1 ) • n! 

' V ' 

n! 


28. Exemplos 


10 ! 

1) Calcular — 

T 10! 10 
Temos. — = -g- = 10. 


, 10 ! 
2) Calcular — 

__ 10! 
Temos: — 


10 • 9 v8f 


= 90. 


3) Calcular 


Temos: 


12 ! 
9! 3! 


A m , r = m • (m - 1) - . . . • (m - r + 1) = 


— m • (m - 1 ) • , , . • (m - r + 1 ) • 


(m - r) • (m - r - 1 ) 
(m - r) * (m - r - 1 ) 


3 - 2-1 

3-2-1 


m! 

(m - r)! ‘ 


Em particular 



e a fórmula P m = m! é válida V m 6 N* 
e ainda 


em particular 


r^m - m 

\ m! 


e a fórmula A 


|jm - 1)! 
m! s 

m ' r (m-r)! 


V m E M* 
m V m e M* , 

é válida V m €= V r E M* com r < m. 


EXERCÍCIOS 



Usando o diagrama da árvore, obter todos o$ arranjos dos elementos de M = {a, b, c, d} to- 
mados dois a dois. 


E^2€ Calcule: 

a) A 6f3 ; b) A 104 ; c) A 2 o f i; d} A 122 . 

|=,27 Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos resultados são possíveis 
para os três primeiros lugares? 


12! 12 • 11 • 10 12 • 1 1 ♦ 10 = 
9 ! 3! _£T3! 3-2-1 


E.28 Em um torneio (de dois turnos) do qual participam seis times, quantos jogos são dis- 
putados? 


16-E 


17-E 




E.29 Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma 
cor. De quantas formas isto pode ser feito? 

Solução 

Cada maneira de pintar a bandeira consiste de uma sequência de cinco cores distintas 
(seqüência, porque as listras da bandeira estão numa ordem) escolhidas entre as oito 
existentes. Logo, esse número de seqüências procurado é: 

A 8í 5 =| 8 • 7 • 6 • 5 • 4 J= 6 720. 

5 fatores 


E.30 Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se 
cada tipo deve assinalar a estação de partida e de chegada respectiva mente? 

E.31 As 5 finalistas do concurso para Miss Universo são: Míss Japão, Miss Brasil, Miss Finlândia,.- 
Miss Argentina e Miss Noruega. De quantas formas os juízes poderão escolher o pri- 
meiro, segundo e o terceiro lugares neste concurso? 

E.32 Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, . . . , 9. O segredo do cofre é 
formado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, 
quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abrí-lo. {Suponha que a 
pessoa sabe que o segredo é formado por dígitos distintos). 

E.33 Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas pessoas podem sen- 

/ tar-se, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas. 

Solução 

Inicialmente notemos que cada maneira delas sentarem, corresponde a um par ordenado 
de números distintos escolhidos entre 1, 2, ...» 10. 


Exemplo: (2, 6) 


f a pessoa A senta na cadeira 2 
La pessoa B senta na cadeira 6 

fa pessoa A senta na cadeira 6 
La pessoa B senta na cadeira 2 

f a pessoa A senta na cadeira 3 
i^a pessoa B senta na cadeira 4. 


Inicialmente, calculamos o total de pares ordenados que é igual a A 10,2 - 10*9 - 90. 


Agora temos que excluir os pares ordenados cujos elementos sejam números consecuti- 
vos. São eles: 


{1,2) (2,3) (3,4)... (9,10) : 9 pares 
(2, 1) (3,2) (4, 3) . . . (10, 9) : 9 pares 

Ao todo, devemos excluir 9+9=18 pares. 


Logo, o número de maneiras das pessoas sentarem, havendo ao menos uma cadeira 
entre elas é 90 - 1 8 = 72. 


18-E 


É bastante importante o leitçr notar a razão pela qual cada maneira é um par ordenado. 


( t ' t 1 

senta senta 
A B 

E.34 Uma urna contém m bolas numeradas de 1 até m; r(r ^ m) bolas são extraídas sucessi- 
vamente. Qual o número de seqüências de resultados possíveis se a extração for: 

a) com reposição de cada bola após a extração, 

b) sem reposição de cada bola após a extração. 

E.35 Uma urna I contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Outra urna II contém 3 bolas numeradas 
de 1 a 3. Qual o número de seqüências numéricas que podemos obter se extrairmos, sem 
reposição 3 bolas da urna I e, em seguida, 2 bolas da urna II. 

E.36 Existem duas urnas. A 1? com 4 bolas numeradas de 1 a 4 e a 2? com 3 bolas numeradas 
de 7 a 9. Duas bolas são extraídas da 1? urna, sucessivamente e sem reposição, e em se- 
guida 2 bolas são extraídas da 2? urna, sucessivamente e sem reposição. 

Quantos números (de 4 algarismos) são possíveis de serem formados nestas condições? 

E.37 Se A e B são conjuntos e #A = n e #B =* r, quantas funções f: A->B, injetoras 
existem? (1 ^ n ^ r) 

Solução 


A = {a 1( a 2 , . . 
B = {b 1( bj,. . . 


Notemos que se f é injetora, então f(aj) ^ f (aj ) para todo a; tÉ aj. 

Por outro lado, cada função vai ser definida por uma n'upla de imagens, onde todos os 
elementos da n'upla devem ser distintos, pois a função é injetora. 

Por exemplo, uma das funções é definida pela n'upla de imagens. 

(b lf b 2 , . . . , b k , bfc+i, . . . , b n ) 

t t t t t 

f <a x ) f(a 2 ) f(a k ) f(a k+1 ) f(a n ) 


j *2 — 1 -"H 

r b2 

I :. - ' r ~ 1 

- í 

V 9n-~J 

Lbr J 

V — S 



Outra função é definida pela n'upla 
(bn* b n-i/ • ■ ■ b k+i* b k' 

t t t t 

f(ai> f(a 2 ) f<a n _ k ) f(a n _ k+1 ) 


. . , b 2 , bj ) 

t t 

f(a n -i) fUn^- 


Logo, o número de funções é o número de arranjos dos r elementos de B, tomados n a n, 


isto é, A r n 


(r - n)! ‘ 


19-E 



E.38 Sejam A e B dois conjuntos tais que #A = #B = n > 0. Quantas funções f: A-»B 
bijetoras existem? 

E.39 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 quantos números de 3 algarismos distintos 
. podemos formar? 

E.40 Quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 
1, 3, 6, 7, 8, 9? 

Solução 

Cada número, será uma tripla ordenada de algarismos escolhidos entre os dados. Como 
estamos interessados nos números pares, então nos interessam as triplas do tipo: 

(-.-. 6 ) (?) 

OU 

t - , - , 8) © 

o número de triplas do tipo (T) é A5 2 = 20 e o de triplas do tipo (TT) é A5 2 = 20. 
Logo, o resultado procurado é 20 + 20 = 40. 

y 

Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números com algarismos distintos 
/ existem entre 500 e 1 000? 

Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 quantos números de 3 algarismos (iguais ou distintos) 
existem ? 

E,43 Com os algarismos 1, 2, 3 9 quantos números de quatro algarismos existem, onde 

f pelo menos dois algarismos são iguais ? 

E.44 Quantos números formados por 3 algarismos distintos escolhidos entre 2, 4, 6, 8, 9 con- 
tém o 2 e não contém o 6 ?( Lembre-se que o 2 pode ocupar a 1?, 2? ou a 3? posição). 

E.45 Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, quantos arranjos desses dígitos tomados 4 a 4 têm o 
dígito 1 antes do 4? 

E.46 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 quantos números pares de 3 algarismos distintos po- 
demos formar? 

E.47 Com os dígitos 2, 5, 6, 7 quantos números formados por 3 dígitos distintos ou não são 
divisíveis por 5? 

E.48 Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtem permutaqjdo-se 
s 1 os algarismos 1,2, 4, 6, 8, que lugar ocupa o número 68 412 ? 

Solução 

Esse número é precedido pelos números da forma: 

(T) (1, — , — , — , — ) que são em número de P 4 = 4! 


20-E 


© 

© 


(2, — , — , — , — ) que são em número de P 4 - 4! 
<4, — , — , — , — ) que são em número de P 4 = 4! 


(IV) (6, 1, — , — , — ) que são em número de P 3 - 3Í 

© (6.2 ,-,-,-) que são em número de P 3 = 3! 



(6, 4, — , — , — ) que são em número de P 3 = 3! 
(6, 8, 1 , — , — ) que são em número de P 2 = 2! 
(6, 8, 2, — , — ) que são em número de P 2 = 2! 




concluímos que 68 412 é precedido por um total de 


4! + 4! + 4! + 3! + 3! + 3! + 2\ + 2\ = 94 números. Portanto a posição de 68 412 
é a 959. 


E.49 Formados e dispostos em ordem crescente os números que se obtém permutando-se os 
algarismos 2, 3, 4, 8 e 9, que lugar ocupa o número 43 892? 

E.j}Q De quantas formas podemos preencher um cartão da loteria esportiva, com um único 
^ prognóstico duplo e todos os outros, simples? 

E^4 Uma peça para ser fabricada deve passar por 7 máquinas, sendo que a operação de cada 
máquina independe das outras. De quantas formas as máquinas podem ser dispostas para 
montar a peça? 


E.52 Com relação a palavra TEORIA: 

a) Quantos anagramas existem? 

b) Quantos anagramas começam por T? 

c) Quantos anagramas começam por T e terminam com A? 

d) Quantos anagramas começam por vogal? 
e> Quantos anagramas tem as vogais juntas? 


Solução 

a) Cada anagrama é uma permutação das letras T, E, O, R, I, A. Logo o número pro- 
curado é: 

P 6 = 6! = 720. 


b) T 


Neste caso temos somente que permutar as letras E, O, R, I, A. Logo o número 
procurado é: 

P S = 5! = 120. 


c) T A 


Nesse caso temos somente que permutar as letras E, O, R, I. Logo o número pro- 
curado é: 

P 4 - 4! = 24. 


21-E 



E.53 



E.55 

/ 

E.56 

E.57 

E.58 


E.59 


d) Temos as seguintes possibilidades: 


A 5! = 120 anagramas 

E 5! = 120 anagramas 

I 5! = 120 anagramas 

0 5! - 120 anagramas 


Logo, ao todo teremos: 120+ 120 + 120 + 120 = 480 anagramas. 


E.60 Temos 5 meninos e 5 meninas. De quantas fôrmas eles podem ficar em fila se meninos e 
meninas ficam em posições alternadas? 

E.61 De quantas formas 6 pessoas podem sentar-se numa fileira de 6 cadeiras se duas delas 
{Geraldo e Francisco) se recusam sentar um ao lado do outro? 

E.62 Temos numa estante 15 livros, dos quais 4 são de Matemática. De quantas formas pode- 
mos colocá-los em ordem na estante, de modo que os livros de Matemática fiquem 
sempre juntos? 

E.63 De quantas formas 4 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular? 


e) Se as vogais A, E, I, O devem estar juntas, então elas funcionam como “uma letra" 
que deve ser permutada com T e R. Logo o número de permutações é: 

P 3 = 3! = 6. 

Todavia, em cada uma dessas permutações, as vogais podem se permutar entre si, de 
4 ! = 24 formas. 

Logo, o número de anagramas nestas condições é 
6 • 24 = 144. 

Quantos anagramas da palavra FILTRO começam por consoante? 

(MAPOFEI-75) Quantas palavras distintas podemos formar com a palavra PERNAM- 
BUCO? Quantas começam com a sílaba PER? 

Quantos anagramas da palavra PASTEL começam e terminam por consoante? 

De quantas formas podemos colocar 8 torres num tabuleiro de xadrez de modo que 
nenhuma torre possa “comer" outra? 

Em um “horário especial" um diretor de televisão dispõe de 7 intervalos para anúncios 
comerciais. Se existirem 7 diferentes tipos de anúncios, de quantas formas o diretor 
poderá colocar os 7 nos intervalos destinados a eles? 


Dez pessoas, por entre elas Antônio e Beatriz, devem ficar em fila. De quantas formas 
isto pode ser feito se Antônio e Beatriz devem ficar sempre juntos? 

Solução 

Se Antônio e Beatriz devem ficar juntos, eles funcionam como "uma única pessoa", que 
junto com as outras 8 devem ser permutadas, dando um total de 9! permutações. 

Entretanto, em cada uma dessas permutações, Antônio e Beatriz podem ser permutados 
entre si (AB ou BA) de 2! = 2 formas. 

Logo o total de permutações em que eles aparecem juntos {AB ou BA) é: 2 • 9! 

De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila se: 

a) os homens devem ficar juntos, 

b) os homens devem ficar juntos e as mulheres também? 


Solução 

Quando elementos são dispostos ao redor de um círculo, cada disposição possível, cha- 
mamos de permutação circular . Além disso, duas permutações circulares são consideradas 
idênticas se, e somente se, quando percorremos a circunferência no sentido anti-horário 
a partir de um mesmo elemento das duas permutações, encontramos elementos que 
formam seqüências iguais. 

Por exemplo, consideremos as permutações circulares: 



tomando o elemento A, a sequência encontrada 
é (A, C, D, B). 


Tomando o elemento A, a sequência encon- 
trada é: (A, C, D, B). 


Logo as duas permutações circulares são iguais. A igualdade das duas permutações 
circulares acima poderia ser observada, tomando-se outro elemento diferente de A. Por 
exemplo D. Em (1) encontraremos a seqüência (D, B, A, C) e em (2) encontraremos a 
seqüência (D, B, A, C). Para resolvermos o exercício proposto, chamemos de x o 
número de permutações circulares . Notemos que a cada permutação circular de A, B, 
C, D corresponde 4 permutações de A, B, C, D. 


Por exemplo: a permutação circular do exemplo, correspondem as permutações: 


(A. C, D, B) A \ 

^(C, D, B, A); ' vwa/'!®.' » 5 ' 

- (D, B, A, C), / 

- (B, A, C, D). : 


lu * i *-> 


Por outro lado, no conjunto das permutações, a cada quatro permutações, corresponde 
uma única permutação circular. Por exemplo: 


(A, B, D, C) 
(B, D, C, A) 
(D, C, A, B) 
(C, A, B, D) 


Ir* 


22-E 


23-E 


correspondem a permutação circular: 


A 



D 


A cada conjunto de 4 permutações que definem uma determinada permutação circular , 
chamamos classe. 

Como temos x permutações circulares, teremos x classes. 

Observemos que a intersecção de duas classes distintas é o conjunto vazio. 

Logo, o número de permutações de A, B, C, D pode ser calculado de dois modos: 

19) P 4 = 4! 

29) existem x classes cada qual com 4 permutações, logo o total de permutações é 4 • x. 
Portanto: 

4I 

4 • x = 4! => x = ~ - 3\ = 6. 

4 

Observação 

Com raciocínio análogo ao anterior, podemos calcular o número de permutações circu- 
lares de nín ^ 2) elementos da seguinte forma: 

1 ) existem n! permutações dos n elementos; 

2) existem x permutações circulares onde a cada uma correspondem n permutações. 

Logo n • x - n! => 

que é o número de permutações circulares de n elementos. 

E.64 De quantas formas 12 crianças podem formar uma roda? 

E.65 Quantos colares podemos formar usando quatro contas, todas diferentes? 

E.66 Temos m meninos e m meninas. De quantas formas eles podem formar uma roda, de 
modo que os meninos e as meninas se alternem? 

Sugestão: suponha m = 3 e forme primeiro a roda só com meninos. Depois que o 
leitor "sentir" o problema para m = 3, deve resolver para/71 qualquer. 

E.67 Mostre que: 

1) 5! + 7! ^ 12! 

2) 8! - 3! ¥= 5! 

3) 2 * (5!) (2 * 5)! 

E.68 Resolva a equação: A n 4 = 12 • A n 2 . 

Solução 

Observemos que a equação sò tem solução para n ^ 4. 



24-E 



25-E 




E.77 Mostre que: 

1 + 1 = n + 2 

n! (n + 1 )! (n + 1 )! 


E.78 Mostre que: 


{n + 2)! + (n + 1)-{n-1)!, 

[n + 1 ) . ( n - 1 )! e um ladrado perfeito. 


VIII. COMBINAÇÕES 

30. Seja M um conjunto com m elementos, Isto é, M - {a 1# a 2 , . . . , a m }. Cha- 
mamos de combinações dos m elementos, tomados rar, aos subconjuntos de M 
constituídos de r elementos. 

31. Exemplo 

M = {a, b, c, d}. 

As combinações dos 4 elementos, tomados dois a dois, são os subconjuntos: 
{a, b} {b, c} {c, d} 

{a, c} {b, d} 

{a, d} 

32. Notemos que {a, b} = {b, a} pois, conforme definimos, combinação é um 
conjunto, portanto não depende da ordem dos elementos. 

É importante notar a diferença entre uma combinação (conjunto) e uma $e- 
qüéncia, pois numa combinação nao importa a ordem dos elementos, ao passo 
que numa seqüência importa a ordem dos elementos . 

A própria natureza do problema a ser resolvido nos dirá se os agrupamentos a 
serem formados dependem ou não da ordem em que figuram os elementos. 

33. Cálculo do Número de Combinações 

Seja M - {a lf a 2 . . . . , a m } e indiquemos por C m r ou ( m ) o número de 

' r 

combinações dos m elementos tomados r a r. 

Tomemos uma combinação, digamos esta; E x = {a x , a 2 , a 3 , . . . , a r }. Se per- 
mutarmos os elementos de E x , obteremos r\ arranjos. 

Se tomarmos outra combinação, digamos E 2 = {a 2 , a 3 , . . . , a r , a r+1 }, per- 
mutando os elementos de E 2f obteremos outros r! arranjos. 


26-E 


Chamemos de x o número de combinações, isto é, x = C m r e suponhamos 
formadas todas as combinações dos m elementos tomados rar. São elas: 

Ei, E 2 , E 3 , . . . , E x . 

Cada combinação Ej dá origem a r! arranjos. Chamemos de Fj o conjunto 
dos arranjos gerados pelos elementos de Ej. 

Temos então a seguinte correspondência: 

Ei — F x 

e 2 — f 2 



Verifiquemos que: 

(T) Fj n Fj = 0 para i j 

(jj) Fj U F 2 U F 3 U . . . U F x = F onde F é o número de arranjos dos m ele- 
mentos de M tomados rar. 

Temos: 

(T ) Se Fj H Fj ^ 0 (para i ^ j) então existiria um arranjo que pertenceria a 
Fj e Fj simultaneamente. 

Tomando os elementos desse arranjo obteríamos que coincidiria com Ej e Ej e 
portanto Ej - Ej. Isto é absurdo, pois quando construímos todas as combinações, 
Ej 7^ Ej (para i ^ j). 

Logo Fj n Fj = 0. 

(7P) Para provarmos que F 1 UF 2 U...UF X -F, provemos que: 

ÍFj U F 2 U . . . U F x C F e 
\f c Fj U F 2 U . . . U F x . 

a) Seja a um arranjo tal que 

a G F, U F 2 U . U F x , 

então a ^ Fj (para algum i E {1, 2, . . . x}| e evidentemente a E F, 
logo 

Fj U F 2 U F 3 U . . . U F x C F. 


27-E 


b) Seja agora a um arranjo tal que a E F. Se tomarmos os elementos desse 
arranjo a obteremos uma das combinações, digamos Ej. Ora como Ej gera 
o conjunto dos arranjos Fj, então a E Fj e, portanto, 

a E F] U F 2 U , . . U Fj U . . , U F x . 

Então: 

F C Fj U F 2 U . . . U F x . 

De (a) a (b) resulta que: 

Fj U F 2 U . . . U F x = F. 

Sabemos ainda que se x conjuntos são disjuntos dois a dois, o número de 
elementos da união deles é a soma do número de elementos de cada um. 

Isto é, 

# ( Fj UF 2 U...UF x ) = #F => #Fj + #F 2 + . . . + #F X = #F 



34- Casos particulares 

19 caso : m, r E N* er = m 



28-E 


29 caso :mEN*er = 0 

{ C m o = 1 (o único subconjunto com 0 elementos é o vazio) 

— = i 

0! (m - 0)! 

39 caso : m = 0 e r = 0 

fC 0 o ^ 1 (o único subconjunto do conjunto vazio é o próprio vazio) 


01 — = 1 
L.0H0 - 0)! 

Em virtude da análise dos casos particulares, concluímos que a fórmula 



, m . 

m! 

Cm,r ” 

( > 
r 

r!(m - r) ! 


é válida Y m, r E N com r < m. 

35. Exemplos 

19) Deseja-se formar uma comissão de três membros e dispõe-se de dez fun- 
cionários. Quantas comissões podem ser formadas? 

Notemos que cada comissão é um subconjunto de três elementos (pois den- 
tro de cada comissão não importa a ordem dos elementos). Logo o número de 
comissões é: 

( 3 ) = °io,3 - 3| v ]ZU - 


2?) Temos 7 cadeiras numeradas de 1 a 7 e desejamos escolher 4 lugares en- 
tre os sete existentes. De quantas formas isto pode ser feito? 

Cada escolha de 4 lugares corresponde a uma combinação dos 7 elementos, 
tomados 4 a 4, pois a ordem dos números escolhidos não interessa, {escolher os 
lugares 1, 2, 4, 7 é o mesmo que escolher os lugares 7, 2, 4, 1). Logo o resultado 


procurado é 


C7 4 " ( v* ) 


29-E 






EXERCÍCIOS 


E.79 Calcule os números: 

a) (®> b) (®) c) (®) 

2 4 0 

E.80 Obter todas as combinações dos elementos de M = {7, 8, 9, O} tomados dois a dois. 
E.81 (F AM) Sabendo-se que 8 'P +2 = 2, determine o valor de p. 

c 8,p+i 

E.82 (EEM) Calcule p, sabendo-se que A m p - C m< p V p <C m. 

E.83 (EPUC) Calcule A m 3 sabendo-se que C m>3 = 84. 

E.84 Prove que o produto de m fatores inteiros positivos e consecutivos é divisível por m! 
( Sugestão : procure relacionar o produto dado, com alguma fórmula conhecida). 


E.85 Uma prova consta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas fôr- 
mas ele poderá escolher as 10 questões? 

Solução 

Notemos que a ordem em que o aluno escolher as 10 questões não interessa. Por exem- 
plo resolver as questões: 

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 0 é o mesmo que resolver as questões: 1 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 . 

Logo, cada maneira de escolher 10 questões é uma combinação das 15 questões tomadas 
10a 10, isto é, 


15 ! 

1 o! 5! 


3 003. 


E.86 De um baralho de 52 cartas, são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem reposição. 
Qual o número de resultados possíveis, se não levarmos em conta a ordem das cartas 
extraídas? 

E.87 Em uma reunião social, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 45 
apertos de mão. Quantas pessoas havia na reunião? 

E.88 Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos escolhidos entre 
2, 3, 5, 7 e 11? 

E.89 Um grupo tem 10 pessoas. Quantas comissões de no mínimo 4 pessoas podem ser for- 
madas, com as disponíveis? 

© De quantos modos podemos escolher 5 cartas de um baralho de 52 cartas, sem levar em 
conta a ordem das mesmas, de modo que sempre compareçam os 4 ases? 


30- E 


E.91 De quantas formas podemos escolher 4 cartas de um baralho de 52 cartas, sem levar em 
conta a ordem delas, de modo que em cada escolha haja pelo menos um rei? 


Solução 

Como não levamos em conta a ordem das cartas, cada escolha é uma combinação. O 

52 

número total de combinações é ( ). O número de combinações onde nao comparece o 

48 52 48 

rei é { ). Logo a diferença ( ) - l ) é o número de combinações onde comparece 

4 4 4 

ao menos um rei. 

) Existem 10 jogadores de Futebol de salão, entre eles João, que por sinal é o único que 
joga como goleiro. Nestas condições, quantos times de 5 pessoas podem ser esca- 
lados? 



Um time de futebol de salão deve ser escalado a partir de um conjunto de 10 jogadores 
( en tre eles Ari e Arnaldo), De quantas formas isto pode ser feito, se Ari e Arnaldo devem 
necessariamente ser escalados? 

^ (MAPOFEI-76) Um químico possui 10 (dez) tipos de substâncias. De quantos modos 
possíveis poderá associar 6 (seis) dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não 
podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva? 


Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 Matemáticos. De quantas formas podemos 
formar comissões de 10 pessoas de modo que: 

a) nenhum membro seja Matemático, 

b) todos os Matemáticos participem da comissão? 

c) haja exatamente urn Matemático na comissão? 

d) pelo menos um membro da comissão seja Matemático? 

De um grupo de 10 pessoas deseja-se formar uma comissão com 5 membros. De quantas 
formas isto pode ser feito se duas pessoas (A e B) ou fazem parte da comissão, ou não? 

Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas formas ele pode sele- 
cionar 2 meias, sem que elas sejam do mesmo par? 

Temos 10 homens e 10 mulheres. Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar se 
em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres? 

Solução * 


Podemos escolher 3 homens entre 10 de ( ) = 120 formas e podemos escolher 


2 mulheres entre 10 de ( 


45 formas. 


Cada grupo de 3 homens pode se juntar com um dos 45 grupos de mulheres, formando 
uma comissão. Como existem 120 grupos de homens, teremos ao todo 120 • 45 = 5 400 


31-E 



E.99 Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas: 

a) podemos formar uma comissão de 3 pessoas? 

b) podemos formar uma comissão de 3 pessoas de modo que haja 2 homens e uma 
mulher, na mesma? 

E.100 Um lote contém 50 peças boas e 10 defeituosas. Extraindo-se 8 peças (sem reposição), 
não levando em conta a ordem das mesmas, de quantas formas podemos obter 4 peças 
boas e 4 defeituosas? 

E.101 (ITA) Em uma urna existem 12 bolas das quais 7 são pretas e 5 brancas. De quantos 
modos podemos tirar 6 bolas da urna, das quais 2 são brancas? 


E-T02 (EESCUSP-66) Quantos subconjuntos de 5 cartas contendo exatamente 3 ases podem 
/ ser formados de um baralho de 52 cartas? 


E.1^3 Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas. De quantas formas podemos extraii 
' 2 bolas, sem reposição e sem levar em conta a ordem na extração, de modo que: 

a) as duas sejam vermelhas? 

b) as duas sejam brancas? 

c) uma seja vermelha, outra branca? 


E.1J04 (MAPOFEI-74) Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é 
/ possível tirar 7 bolas, das quais pelo menos 4 sejam pretas? 

E.tQtf / (MAPOFEI-74) A diretoria de uma firma é constituída por. 7 diretores brasileiros e 4 
/ japoneses. Quantas comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formadas? 


E. 10fr Em um grupo de 15 pessoas existem 5 médicos, 7 engenheiros e 3 advogados. Quantas 
/ comissões de 5 pessoas podemos formar, cada qual constituída de 2 médicos, 2 enge- 
nheiros e 1 advogado? 


E.107 Existem 5 pontos, entre os quais nao existem 3 colineares. Quantas retas eles deter- 
minam? 

E.108 Num plano existem 20 pontos dos quais 3 nunca sao colineares, exceto 6 que estão sobre 
uma mesma reta. Encontre o número de retas que esses pontos determinam. 


E.109 Numa circunferência sao tomados 8 pontos distintos. 

a) Ligando-se 2 desses pontos, quantas cordas podem ser traçadas? 

b) Ligando-se 3 desses pontos, quantos triângulos podem ser formados? 

c) Ligando-se 6 desses pontos, quantos hexágonos podem ser formados? 


E.110 Quantas diagonais, tem um polígono regular de n lados? 

Solução 

O polígono tem n vértices: Aj,, A 2 , . . . , A n . Cada segmento é determinado por um par 
não ordenado de dois vértices (AjA 2 = A 2 Ai, por exemplo). 


32-E 


O número total de segmentos determinados será então < ^ )- Entre esses segmentos estão 
incluídos os lados e as diagonais. Como existem n lados, o número de diagonais será: 
n n! n(n-1) n 2 - n - 2n n 2 - 3n n * (n - 3) 

( 2 t - n = ( n - 2)! 2 ~ " 2 2 = 2 = 2 

E.111 Quantas diagonais, não das faces, tem: 
a) um cubo? b) um octaedro? 

E.112 (EPUSP) Sabe-se que o número total de vértices de um dodecaedro regular é 20 e que as 
faces são pentágonos. Quantas retas ligam dois vértices do dodecaedro, não pertencentes 
a mesma face? 

E.113 (EPUSP-61 ) Quantas diagonais, não das faces, tem um prisma cuja base é um polígono 
de n lados? 

E.114 No espaço existem 7 pontos, onde não existem 4 pontos coplanares. Quantos planos eles 
determinam? 

E.115 No espaço existem n pontos, entre os quais não existem 4 coplanares com exceção de 5 
que estão num mesmo plano. Quantos planos os n pontos determinam? 

E. 116 (EPUSP) Num plano são dados 19 pontos, entre os quais nao se encontram 3 alinhados, 
nem 4 situados sobre uma mesma circunferência. Fora do plano, é dado mais um ponto. 
Quantas superfícies esféricas existem, cada uma passando por 4 dos 20 pontos dados? 

E.117 (MAPOFEI-75) São dados 12 pontos em um planò, dos quais 5 e somente 5 estão 
alinhados. Quantos triângulos distintos podem ser formados com vértices em três quais- 
quer dos 12 pontos? 

Solução 

Cada combinação de 3 pontos, entre os 12 existentes, dá origem a um triângulo, com 
exceção das combinações de 3 pontos, tomados entre os 5 alinhados; logo o número de 
triângulos que podem ser formados é: 

<3»- , 3 , = 2ia 

E.118 São dadas 2 retas paralelas. Marcam-se 10 pontos distintos sobre uma e 8 pontos dis- 
tintos sobre a outra. Quantos triângulos podemos formar ligando 3 quaisquer desses 
18 pontos? 

E.119 (MAPOFEI-73) Seja P o conjunto dos pontos de p retas (p > 2), duas a duas paralelas, 
de um plano. Seja Q o conjunto dos pontos de q(q ^ 2) retas, duas a duas paralelas do 
mesmo plano, concorrentes com as p primeiras. Calcule o número total de paralelogra- 
mos de vértices pertencentes ao conjunto P H Q e de lados contidos no conjunto 

p u a 


33-E 



E.120 Com as letras a , e, i, o, b, c, d, f, g quantas palavras (com ou sem sentido) de 6 letras 
distintas podem ser formadas, usando-se 3 vogais e 3 consoantes? 

E.121 (EPUSP-65) De quantas maneires diferentes pode-se colocar os 4 cavalos de um jogo de 
xadrez (2 brancos iguais e 2 pretos iguais) no tabuleiro do mesmo jogo (64 casas)? 

E.122 Obter o número de maneiras que nove 0's e seis 1's podem ser colocados em seqüência 
de modo que dois 1 's não compareçam juntos. 

Solução 

-0-0-0- o-o-o- 0-0-0- 

Dispostos os nove zeros; existem 10 posições que os 1 's podem ocupar (ver figura acima). 

Como existem 6 1's precisamos escolher 6 lugares entre os 10 existentes. Isto pode ser 
10 

feito de ( ) = 210 modos, 

b 

E.123 De quantas formas podemos alinhar em seqüência p sinais "+" e q sinais de modo 
que 2 sinais nunca fiquem juntos? 

(Observação; é dado que p + 1 ^ q). 

IX. PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS 

36. Consideremos a palavra ANA e procuremos seus anagramas. Vamos indicar 
por A* o segundo A. Teremos então: 

ana\aa*n, na a*, n a* a, a* n a, a* a n 

(D (2) (3) (4) (5) (6) 

Notemos que as permutações: 

(1) e (5) sao iguais 

(2) e (6) são iguais 

(3) e (4) são iguais. 

Na verdade não temos 3! = 6 permutações distintas, mas apenas 3 que são: 
ANA, AAN, NAA. 

Esta diminuição do número de permutações decorreu do fato de termos duas 
letras iguais A e A no conjunto das letras a serem permutadas. É intuitivo perceber 
que o fato de existirem letras repetidas para serem permutadas acarreta uma di- 
minuição do número de permutações, em relação ao número que teríamos, se todas 
fossem distintas. 


34-E 


37. Vamos calcular o número de permutações que podemos formar quando 
alguns elementos a serem permutados são iguais. 

1? caso 

Consideremos n elementos dos quais são iguais a ai e os restantes são 
todos distintos entre si e distintos de 

Indiquemos por P" 1 o número de permutações nestas condições e calcule- 
mos esse número. 

Cada permutação dos n elementos é uma n'upla ordenada de elementos onde 
devem figurar n i elementos iguais a a x e os restantes n - nj elementos distintos 



n elementos 


Façamos o seguinte raciocínio. Das n posições que existem na permutação 
vamos escolher n — D\ posiçoes, para colocar os elementos todos distintos de a^. 

Existem ( n ) modos de esçolher estas posições, 
n - ni 

Para cada escolha de (n - n { ) posições, existem (n - n^! modos em que os 

(n- ni ) elementos podem ser permutados. Logo existem ao todo 

, n . , X1 n! 

( > • (n - n t ) ! = — - 

n - n x í 

formas de dispormos os elementos distintos de a lf na permutação. 


Uma vez colocados estes elementos distintos, a posição dos elementos rep 
tidos ai fica determinada (de uma só forma) pelos lugares restantes. 


n i .... 

Logo, existem — permutações com n x elementos iguais a a t . Isto e: 



35-E 




Exemplo 

Quantos anagramas existem da palavra PARAGUAI? 


Temos 


A , A , A -> elementos repetidos 


n = 8 e n ! = 3, logo P^ = |j=8.7-6-5*4=6 720. 


Consideremos n elementos dos quais são iguais a ai : a i , . . . , a t 


n 2 sao iguais a a 2 : a 2 , a 2 , . . . , a 2 


e os restantes, são todos distintos entre si e distintos de ai e de a 2 . Indiquemos por 
o número de permutações, nestas condições. 

Cada permutação- dos n elementos é uma o n'upla ordenada de elementos 
onde devem figurar elementos iguais a a ít n 2 elementos iguais a a 2 e os 
n - /?i — /? 2 elementos restantes. 


Façamos o seguinte raciocínio. Das n posições que existem na permutação, 
vamos escolher n - n 2 lugares para colocar todos os elementos, com exceção dos 

iguais a a 2 . Existem ( P ) modos de escolher esses lugares. Para cada uma dessas 
n — n 2 

escolhas, existirão P ni modos em que os n - n 2 elementos podem ser permutados 

n-n 2 

{lembremos que, dos elementos agora a serem permutados, existem ni iguais a ai). 
Ao todo existirão 

( n ) . pn, = n! . < n - n ^ )! = n! — 
n - n 2 n ~ n 2 (n-n 2 yin 2 ! ni ! nj! n 2 ! 

formas de arranjar na permutação, todos os elementos, com exceção de a 2 . 


36- E 


Uma vez arranjados estes elementos na permutação, as posições dos ele- 
mentos repetidos a 2 ficam determinadas (de uma única forma) pelos lugares res- 
n! 

tantes. Logo existirão — : : permutações com n x elementos iguais a a x e n 2 ele- 

n n 2 ! 

mentos iguais a a 2 . Isto é: 



38. Exemplos 


19) Quantos anagramas existem da palavra ANALÍTICA? 


Ternos 



elementos repetidos 
elementos repetidos 



29) Existem 6 bandeiras (de mesmo formato), sendo 3 vermelhas e 3 brancas. 
Dispondo-as ordenadamente num mastro, quantos sinais diferentes podem ser emi- 
tidos com elas? 

Temos: 

Cada sinal emitido consta de uma permutação de 6 bandeiras sendo 3 iguais a 
V (vermelho) e 3 iguais a B (brancas). 

Isto é, n = 6, nj = 3, n 2 = 3. 

Portanto, existem: 

p 6' 3 = 3Pjj = 20sinais - 


37-E 




39. Caso Geral 


Consideremos n elementos dos quais: 

são iguais a a* 
n 2 são iguais a a 2 

n r são iguais a a r . 

Usando raciocínio análogo ao do 19 caso e 29 caso poderemos calcular o 
número de permutações nestas condições (indicado por P" 1 '" 2 ' ■ ■ ■ » n r através da 
fórmula: 



É fácil ver que no caso particular de n t = n 2 = . . . = n r = 1 obteremos: 

P 1 ' 1 1 = n! 

n 

que é o número de permutações de n elementos distintos. 

EXERCÍCIOS 

E.124 De quantas formas 8 sinais e 4 sinais podem ser colocados em uma sequência? 

E.125 Quantos números de 6 algarismos podemos formar permutando os algarismos 2, 2, 3, 
3, 3, 5? 

E.126 Quantos anagramas existem da palavra AMAR I LIS? 

E. 127 Se uma pessoa gasta exatamente um minuto para escrever cada anagrama da palavra 
ESTATÍSTICA, quanto tempo levará para escrever todos, se não deve parar nenhum 
instante para descansar? 

E.128 Uma moeda é lançada 20 vezes. Quantas seqüências de caras e coroas existem, com 10 
caras e 10 coroas? 

E.129 Quantos números de 7 algarismos existem nos quais comparecem uma só vez os alga- 
rismos 3, 4, 5 e quatro vezes o algarismo 9? 


38-E 


E.130 Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas. Elas são extraídas uma a uma sem 
reposição. Quantas seqüências de cores podemos observar? 

E.131 Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal, como mostra a 
„ figura. Ele só pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Quantas 
trajetórias (caminhos) existem da origem ao ponto P(7, 5}? 


Solução 

Notemos inicialmente que o homem terá 
que dar ao todo, 7 + 5-12 passos (7 
para leste (L) e 5 para norte (N). 

Cada trajetória possível é, então, uma 
seqüéncia de 12 elementos, sendo 7 L's 
e 5 N'$. 

A trajetória da figura é: 

(L, N, N, L, L, L, N, L, N, N, L, L). 

Se quisermos o número de trajetórias 
teremos que calcular então o número 
de permutações com repetição de 12 
elementos, sendo 7 L's e 5 N's. Portanto, 
o número de trajetórias é: 



E.132 Uma cidade é formada por 12 quar- 
teirões dispostos segundo a figura abaixo. 
Uma pessoa sai do ponto P e dirige-se 
para o ponto Q pelo caminho mais 
curto, isto é movendo-se da esquerda 
para direita, ou de baixo para cima. 
Nestas condições, quantos caminhos di- 
ferentes ele poderá fazer, se existem 2 
ruas "horizontais" e 3 "verticais"? 


1 



E.133 Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele só pode dar 
um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Partindo da origem e passando 
pelo ponto A(3, 1 ), quantas trajetórias existem até o ponto B{5, 4)? 


E.134 Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 de quantas formas podemos permutá-los de modo que os 
números ímpares fiquem sempre em ordem crescente? 

E.135 Uma classe tem a meninas e b meninos. De quantas formas eles podem ficar em fila se as 
meninas devem ficar em ordem crescente de peso, e os meninos também? (Supor que 2 
pessoas quaisquer não tenham o mesmo peso). 


39- E 








X. COMPLEMENTOS 

A - Partições ordenadas 

40. Consideremos um conjunto A e K subconjuntos de A não vazios Aj , A 2 , . . . ,A|< 
tais que: 

a) Aj n Aj = 0 (para i j) 

b) A x U A 2 U . . . U A k = A 

Chamaremos de uma partição ordenada do conjunto A, à seqüência de con- 
juntos 


(A lf A 2/ . . . , A|<). 


41. Exemplo 


Seja A = {1 f 2, 3, 4, 5, 6} e consideremos as seqüências de conjuntos 


IMO. 2); 4}; {5, 6}) 

2) ({1,2, 3, 4}; {5}; {6}) 

3) ( 0 ; (1,2,3, 4); {5, 6}) 

4) ({1,2,3}; {3,4,5}; {6}) 

5) ({1,2}; {3,4, 5}). 

Nos exemplos (1) e (2) temos partições ordenadas de A, ao passo que em (3) 
não temos pois 0 faz parte da seqüência. Em (4) não temos uma partição orde- 
nada pois {1, 2, 3} O {3, 4, 5} ^ 0 e finalmente em (5),{l , 2} U {3, 4, 5} ^ A. 

Observemos que, a partição ordenada ({1, 2}; {3, 4}; {5, 6}) é diferente da 
partição ordenada ({5, 6}; {3, 4}; {1, 2}) pois cada partição, sendo uma seqüên- 
cia de conjuntos, depende da ordem dos mesmos. 


42. Podemos resolver alguns problemas combinatórios com auxílio do conceito 
de partição ordenada. 

Exemplo 

De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em três salas A, B e C de 
modo que em A fiquem 4 pessoas, em B fiquem 3 pessoas e em C também 3 pessoas? 


Notemos que cada modo de distribuir as 10 pessoas corresponde a uma par- 
tição ordenada das mesmas do tipo: 

t t t 


pessoas na 
sala A 


pessoas na 
sala B 


pessoas na 
sala C 


Para calcularmos o número de partições ordenadas, façamos o seguinte ra- 
ciocínio: 

Escolhemos 4 entre 10 pessoas para ficarem em A. Isto pode ser feito de 

. 10 . 

( ) maneiras. 

4 

Em seguida, entre as 6 pessoas restantes, escolhemos 3, para ficarem em B. 

g 

Isto pode ser feito de ( ^ ) maneiras. 

3 ... 

As 3 pessoas restantes, podem ser escolhidas de ( ^ ) = 1 maneira (isto e, 
as pessoas da sala C ficam determinadas). 

0 

Ora, cada combinação de pessoas em A, gera ( ^ ) maneiras de dispor 3 
pessoas em B. 

Logo, o número total de partições é: 

10 ! 6 ! 10 ! 


,10 ,6 _ 

1 4 M 3 6! 4! 3! 3! 4! 3! 3! 


= 4 200 


I „ L nwl.fnm A onn mArlrtc Ho Hicnrkrmnç ac 10 




B - Partições não ordenadas 

43. Consideremos um conjunto A e K subconjuntos de A não vazios A lf A 2 , . . . , A k 
tais que: 

a) Aj Pi Aj = 0 (para i i=- j) 

b) A, U A 2 U , , . U A k = A. 

Chamaremos de uma partição não ordenada de A a família: 

{A t , A 2 A k }. 


40- E 


41-E 



44. Exemplo 


Seja o conjunto: A - {1, 2, 3, 4, 5 f 6} e consideremos as famílias: 

1) {{1 ( 2, 3}, {4, 5, 6}} é uma partição. 

2) {{1 , 2}; {3, 4, 5, 6}} é uma partição. 

3) {{1 r 2}; {3}} não é uma partição. 

4) {{1, 2, 3, 4}; {3, 4, 5, 6}} não é uma partição. 

45. Alguns problemas combinatórios podem ser resolvidos com este conceito. 

Exemplo 

De quantos modos 12 pessoas podem ser repartidas em 3 grupos, tendo cada 
grupo, 4 pessoas? 

Consideremos para fixar idéias 3 grupos A lf A 2 e A 3 . 

Notemos que a ordem em que figuram pode ser qualquer que teremos a mes- 
ma distribuição em 3 grupos. Estamos então interessados no número de partições 
não ordenadas do tipo: 

-. 7 . 

t t í 

grupo A ! grupo A 2 grupo A 3 

Para calcularmos o número de partições não ordenadas, façamos o seguinte 
raciocínio. 

19) Calculamos o número de partições ordenadas 

T . 

que com o raciocínio do exemplo anterior sabemos ser: 

( 12 ) • ( l ) • ( \ ) = 34 650. 

4 4 4 

29) Cada grupo de 3! = 6 partições ordenadas dá origem à mesma partição 
não ordenada. 

39) Logo o número de partições não ordenadas será: 

34650 = 


42-E 


C — Soluções inteiras não negativas de uma equação linear 

46. - Consideremos a equação linear x + y = 7 e encontremos o número de so- 
luções inteiras não negativas da mesma. 

Por tentativas, encontramos: 

(0, 7); (1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1); (7, 0). 

Ao todo temos 8 soluções inteiras não negativas. 

47. Agora, se tivermos a equação x + y + z = 7, resolvendo por tentativas o 
trabalho será muito grande, e corremos o risco de "esquecer" alguma solução. 

Um raciocínio alternativo, seria o seguinte: 

Temos que dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em 
cada parte um número maior ou igual a zero. 

Indiquemos cada unidade por um ponto então, elas serão representadas por 



Como queremos dividir as 7 unidades em 3 partes, vamos usar duas barras 
para fazer a separação. 

Cada modo de dispormos os pontos e as barras dará origem a uma solução. 
Por exemplo: 



43- E 



O número de permutações destes símbolos será: 

- y 9! 

P ’ = 7121 = 36 - 

que é o número de soluções inteiras não negativas da equação x + y + z = 7. 

Tal raciocínio pode ser generalizado pelo: 

48. Teorema 

O número de soluções inteiras não negativas da equação + x 2 + . . . + 
+ x n = r é 

(n + r- 1)! 
r! (n 1)! 


Demonstração 

De fato, cada solução da equação é uma permutação de r símbolos • e (n - 1) 
símbolos I (precisamos de (n - 1) barras para dividir r pontos em n partes). 


O número de permutações (soluções da equação) será: 

p(n-i),r _ ( n + r ~ 1_L- 
n+r-i r! (n - 1 )! 


49. Exemplo de Aplicação 

Um bar vende 3 tipos de refrigerantes: GUARANÁ, SODA e TÔNICA. De 
quantas formas uma pessoa pode comprar 5 garrafas de refrigerantes? 

Seja: 

x o número de garrafas de guaraná 
y o número de garrafas de soda 
z o número de garrafas de tônica 

É claro que x, y, z€Nex+y + z = 5. 

Trata-se então de achar o número de soluções inteiras não negativas da equação 
x + y + z = 5 
ÍS + 3 - 1 V 7* 

que e então: . JLi: = _ _ = 21 

5! (3- 1)! 5! 2! 


44- E 


EXERCÍCIOS 


E.136 De quantas formas 12 estudantes podem ser divididos e colocados em 3 salas, sendo 4 
na primeira, 5 na segunda e 3 na terceira? 

E.137 Um grupo de 10 viajantes para para dormir num hotel. Sd havia 2 quartos com 5 lu- 
gares cada um. De quantas formas eles puderam se distribuir para dormir naquela noite? 

E.138 (MACK-70) De quantos modos 8 pessoas podem ocupar duas salas distintas, devendo 
cada sala conter pelo menos 3 pessoas? 

E.139 Um baralho tem 52 cartas. De quantos modos podemos distribuí-las entre 4 jogadores, 
de modo que cada um receba 13 cartas? 

E.140 De quantas formas 20 alunos podem ser colocados em 4 classes A, B, C, D ficando 5 
alunos por classe? 

E.141 De quantas formas podemos distribuir 10 bolinhas, numeradas de 1 a 10 em 2 urnas 
A e B {podendo eventualmente uma ficar vazia)? 

E.142 De quantas formas podemos repartir 9 pessoas em 3 grupos, ficando 3 pessoas em 
cada grupo? 

E.143 Com 10 pessoas, de quantas formas podemos formar dois times de bola ao cesto? 

E.144 De quantas formas 15 pessoas podem ser divididas em 3 times, com 5 pessoas por time? 

E.145 Quantas soluções inteiras não negativas têm as equações: 

a) x + v + z = 6 

b) x+y + z + t=10 

c) x+y + z + t + w= 10 

E.146 Quantas soluções inteiras tem a equação: xj + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 20 se cada xjé 
tal que Xj > 3 Y i €: {l, 2, 3, 4, 5} ? 

E.147 Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e palmito. De quantas formas uma pessoa 
pode comer 5 pastéis? 

E.148 Uma mercearia tem em seu estoque, pacotes de café de 6 marcas diferentes. Uma pessoa 
deseja comprar 8 pacotes de café. De quantas formas pode fazê-lo? 

E.149 Uma confeitaria vende 5 tipos de doces. Uma pessoa, deseja comprar 3 doces. De quantas 
formas isto pode ser feito? 

E.150 Temos duas urnas A e B, De quantas formas podemos colocar 5 bolas indistinguíveis, 
podendo eventual mente uma das urnas ficar vazia? 


45-E 



Nem só de Física vive um gênio 


Isaac Newton nasceu no interior da Inglaterra tendo estudado no Trinity College em 
Cambridge. 

Interessa va -se muito por Química mas depois de estudar as obras de importantes 
matemáticos como Euclides, Oughtred, Kleper, Viéte, Wallis, Galileu, Fermat e Huygens, 
adquiriu grande conhecimento matemático. 

Por ocasião da peste, voltou para casa pois o colégio foi fechado e neste período fez suar 
principais descobertas: o teorema binomial, o cálculo, a lei da gravitação e a natureza das cores. 

O teorema binomial foi enunciado pela primeira vez numa carta enviada a Oldenburg, 
destinada a Leibniz e, a partir dai, os processos infinitos seriam amplamente usados. 

Em 1669 publicou " De analysi per aequationes numero terminorum infinitas" 
(Análise por meio de equações infinitas quanto ao número de termos), onde expôs sua 
principal descoberta em Matemática, o Cálculo e o método das séries infinitas. 

Em 1642 lança o "Methodus ffuxiorum et serierium infinitorum" (Método dos fluxos 
e séries infinitas), aproximando-se bastante dos conceitos de limites e derivadas, onde utiliza o 
sistema de coordenadas polares. "Phifosophiae natu ralis principia mathematica " (Princípios 
matemáticos da filosofia natural), neste mais admirável tratado científico de todos os tempos 
em 1687 Newton apresenta os fundamentos da Física e da Astronomia, dando preferência aos 
métodos geométricos sem hesitar, na utilização de seus métodos de Cálculo e séries infinitas. 
Nesta obra está incluída a maior formulação matemática conseguida por Newton queé a lei da 
gravitação f = m • a. 

Generalizando as leis de Galileu formulou "as leis do movimento de Newton" que, 
combinadas às de Kleper e Huygens, lhe deram oportunidades de enunciar o grande princípio 
unificador de que duas partículas quaisquer do Universo se atraem mutuamente com uma força 
que varia de modo inversamente proporcional à distância entre elas. 

Graças a sua capacidade de manejar a Matemática é que este princípio foi aceito pelos 
homens de sua época, entretanto, 40 anos se passaram até que a teoria gravitacional de Newton 
derrubasse a cosmologia de Descartes. 

Em 1672, Newton publicou seu "Philosophicai Transaction" (Transação filosófica) onde 
anunciou aquilo que achava uma das mais estranhas obras da natureza, o fato de a luz branca ser 
uma simples combinação de raios de diferentes cores, com diferentes índices de refração, o que 
lhe custou muitas críticas e ataques. 

No seu "i Opticks " (Óptica), de 1704, usa pela primeira vez dois eixos sem hesitar quanto 
as coordenadas negativas. 

Ainda uma obra de Newton deve ser lembrada, a "Arithmetica universaiis" (Aritmética 
Universal), com muitas contribuições matemáticas importantes. 

Famoso, representou Cambridge no Parlamento Britânico e foi eleito presidente do 
Royal Society, cargo que ocupou até o fim da vida, recebendo o titulo de nobreza da Rainha 

Anne. 

Em 1695, para grande desgosto de Newton, Wallis lhe comunica que na Holanda o 
Cálculo é considerado descoberta de Leibniz, isto acarretou inúmeros fatos desagradáveis mas 
provou-se que Newton foi o percursor. 

Ao morrer, Newton foi enterrado na Abadia de Westminister com as pompas de um rei. 


CAPÍTULO II 

BINÔMIO DE NEWTON 


I. INTRODUÇÃO 

50. Vamos usar as técnicas que estudamos em Análise Combinatória para 
ter um resultado importante em Álgebra, que consiste em obter o desenvolvimento 
do binômio (x + a) n para n G W e x, a G IR. 

Já nos são familiares os casos particulares: 

(x + a)° = 1 

(x + a) 1 = x + a 

(x + a) 2 = x 2 + 2xa + a 2 

(x + a) 3 = x 3 + 3x 2 a + 3xa 2 + a 3 . 

Para todo n inteiro, positivo, podemos calcular: 

(x + a) n = (x + a) • (x + a) • ... • (x + a) 

v ^ í 

n fatores 

usando a propriedade distributiva da multiplicação. 

51. O procedimento é o seguinte 

1?) De cada fator (x + a) selecionamos exatamente um termo, que poderá 
ser x ou a , multiplicando-os em seguida. 

2?) Continuamos o processo até esgotar todas as seleções possíveis de 
um termo de cada fator. 

3?) Tomamos todos os produtos obtidos e calculamos sua soma (que 
consiste em reduzir os termos semelhantes). 

4?) Essa soma obtida é o resultado do desenvolvimento de (x + a) n . 


47-E 



52. Exemplo 1 


(x + a) 2 - (x + a) • (x + a) 

Usamos o diagrama da árvore para as seleções dos termos 
1? fator 2? fator Produto 

i 


(T) x • a 

a • x 

(1T) a -a 

Soma: x*x + x*a+a*x + a- a- x + 2ax + a 2 . 

Portanto, (x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2 . 




53. Exemplo 2 

(x + a) 3 = (x + a) • (x + a) * (x + a). 


1? fator 2 o fator 3? fator Produto 



48-E 


Soma: x • x * x + x * x • a + x * a • x + x • a • a + a - x • x + a • x • a + 


+ a- a- x + a*a*a = x 3 + 3x 2 a + 3xa 2 + a 3 . 


' Portanto, 


(x + a) 3 = x 3 + 3x 2 a + 3]Qs£ + a 3 . 


54. 0 problema que surge é o seguinte. Será que podemos obter os termos do 

desenvolvimento de (x + a) n sem recorrermos ao diagrama da árvore? 

A resposta é positiva; vamos mostrar como isto é possível, através de 
um exemplo particular, e em seguida vamos generalizar o resultado obtido. 

Exemplo 

(x + a) 3 = (x + a) • (x + a) • (x + a). 

Se escolhermos um termo de cada fator, obteremos três termos, que de- 
vem ser multiplicados entre si. 

Os tipos de produtos que podemos obter são: x 3 ; x 2 • a; x ■ a 2 ; a 3 . 

Agora vejamos quantos aparecem de cada tipo. 

I o ) x 3 

Só existe uma maneira de obter o produto x 3 - x • x • x, que é escolhendo 
somente o termo "x" de cada fator. Logo o coeficiente de x 3 no desenvolvimento 

3 

do binômio é 1 ou ( ). 

2 o ) x 2 • a 

A quantidade de produtos do tipo x 2 • a é igual ao número de seqüências 
de três letras onde duas sao iguais a "x" e uma igual a “a". Isto é: 

P 2,i 3! 3 

3 2 ! 1 ! ( 1 

9 3 

Logo o coeficiente de x • a é ( ). 


A quantidade de produtos do tipo x • a 2 é igual ao número de seqüências 
de três letras onde uma é igual a “x" e duas sao iguais a "a #/ . Isto é, 


Logo o coeficiente de x * a 2 e' 


49-E 



4?) a 3 

Só existe uma maneira de obter o produto a 3 = a • a * a que é escolhendo 
somente o termo "a" de cada fator. Logo, o coeficiente de a 3 no desenvolvimento 
do binômio é: 

, 3 t 
1 ou ( 3 ). 

Em resumo: 

(X + a ) 3 = ( l )x 3 + ( 3 . ) • X 2 • a + ( 3 ) ■ X • a 2 + ( l ) • a 3 . 


II. TEOREMA BINOMIAL 


0 desenvolvimento de (x + a) n para n € fcj e x, a €E IR é dado por 

(x + a ) n = < n Q ) • x n + ( " )x n -' • a 1 + ( " ) • x"' 2 • a 2 + ... + ... + 

+ ( n ) • x n " p • a p + ... + ( n ) • a n 
P n 


Demonstração 


(x + a) n = (x + a) • (x + a) • ... * (x + a) 


Pela propriedade distributiva da multiplicação e tendo em vista os exemplos 
precedentes, concluímos que os diferentes tipos de termos que podem ser obtidos 
na multiplicação, serão: 

x n ; x"- 1 • a; x n “ 2 • a 2 ; ...; x n_p • a p ; ...; a n . 

Vejamos agora a quantidade de cada um desses diferentes tipos de termos. 

1?) x n 

O produto x n só pode ocorrer de uma forma :x • x • x • ... • x^ e portanto 


n fatores 


n n 

o coeficiente de x é 1 ou ( ^ )• 


50-E 


29) x n_1 • a 

O produto x n_1 • a pode ocorrer de tantas formas, quantas podemos 
permutar (n - 1) letras “x" e uma letra "a". Isto é: 

pn-i,i n - / n \ 

n (n - 1)! 1! ' 1 

Portanto o coeficiente de x n_1 • a é ( ^ ). 

3?) x n “ 2 * a 2 

0 produto x n_2 *a 2 pode ocorrer de tantas formas, quantas podemos 
permutar {n - 2) letras "x" e duas letras “a". Isto é: 

pn-2,2 _ n ‘ _ / n \ 

n (n - 2)1 2! 2 

Portanto o coeficinete de x n “ 2 • a é { ^ l 

4?) x n “ p • a p 

Genericamente, o produto x n - p • a p pode ocorrer de tantas formas quantas 
podemos permutar (n - p) letras "x" e p letras ''a". Isto é: 

p n ”P'P = n! = ( ° ) 

n (n - p) ! p! p 

Portanto o coeficiente de x n “ p • a p é: ( n >. 

P 

5?) a n 

Finalmente, o produto a n só pode ocorrer de uma forma, que é 
a n = a • a * a • ... • a, 


Portanto o coeficiente de a n é 1 ou ( ), 

n 

Das considerações feitas acima, concluímos que: 

(x + a) n = < % < x n + < ? > • x* 1 " 1 • a 1 + ... + ( n ) • x n “ p • a p + ... + 
0 1 p 

+ ( n ) • a n . 
n 


que é o que queríamos demonstrar. 


51-E 



55. Exemplo 


Desenvolver (3x 2 + a) 4 . 

Temos: 

<3x 2 + a) 4 = ( J ) • (3x 2 ) 4 + ( J ) • (3x 2 ) 3 • a 1 + ( * ) • <3x 2 ) 2 • a 2 + 
+ ( ^ ’ (3x 2 ) • a 3 + ( ^ ) ■ a 4 . 

(3x 2 + a) 4 = 81x 8 + 1 08x 6 a + 54xV + 12x 2 a 3 + a 4 . 


EXERCÍCIOS 

E.151 Desenvolver, usando o teorema binomial: 

a) {x + 3b) 3 

b) (1 - x 2 ) s 

c) (Vx - Vy) 4 

d) (sen 6 + cos 0) 4 

e) (3 - v) S 



50 7 

E.156 a) Quantos termos tem o desenvolvimento de (x + a) • 

b) Escrever os 4 primeiros termos, sem os coeficientes, em potências de expoentes 
decrescentes de x. 

E.157 No desenvolvimento de (x + y) 1000 , qual o centésimo termo, se o desenvolvimento 
for feito em potências de expoentes decrescentes de x? 

i oo * 

E.158 Quais os 3 primeiros termos do desenvolvimento de (x + y) segundo as potências 
de expoentes decrescentes de x? 


52-E 


III. OBSERVAÇÕES 


56. “Os números: 


<");(");<"); < n >; ( n ). 

0 12 p n 

São chamados coeficientes binomiais. No coeficiente binomial ( ° ), n é 

P 

chamado numerador e p, denominador. 


57. 0 teorema binomial é válido para (x - a) n pois basta escrevermos: 

(x - a) n como [x + ( - a) ] n e aplicarmos o teorema. 

Exemplo 

(x - 2y) 4 = [x + (-2y) j 4 = 

= < q )x 4 + ( * )x 3 (- 2y) 1 + ( ^ )x 2 ( - 2y ) 2 + ( J )x' • (-2y) 3 + ( J )(-2y) 4 = 
= x 4 - 8x 3 y + 24x 2 y 2 - 32xy 3 + 16y 4 . 


58. Termo Geral 


Já vimos que: 

(x + a) n = ( " )x n + ( " )x n -' . a + ... + ( n )x n - p • a p + ...+( P ) a n . 

0 1 p n 

O termo: 

( n )x n “ p a p 
P 

é chamado geral, pois fazendo-se p = 0, 1, 2, n obtemos todos os termos 
do desenvolvimento. 

Notemos ainda que, V p, a soma dos expoentes de x e a é sempre n. 
Além disso, o expoente de x é igual à diferença entre o numerador e o de- 
nominador do coeficiente binomial correspondente. 


Exemplos 

19) No desenvolvimento de (x 2 + I) 6 qual o coeficiente de x 8 ? 

Temos: 

O termo gera! do desenvolvimento é: ( ® ) {x 2 ) 6r “ p . 1 p = ( ^ ) x I2_2p 

P P 


53-E 



Como queremos o termo que possua x 8 , devemos impor que 12-2p = 8 
isto é, p = 2. 

Logo, o termo que possue x 8 é: 

( ® ) • <x 2 ) 4 = ( ® > • x 8 - 

g 

Seu coeficiente é: ( ) = 15. 

2?) Qual o termo independente de x no desenvolvimento de (x - ^ ) 8 ? 

O termo geral é ( ^ )x 8_p ( — ) p = 

P x 

= ( 8 ) x 8 - p • M) p • x- p = ( 8 ) <-1) p x 8 - 2p . 
p p 

Para que ele independa de x devemos ter 8 - 2p = 0, isto é, p = 4. 

Logo, o termo procurado é: 

( J ) (-D 4 - x 8 - 2 ' 4 = ( l ) = 70. 

3?) Desenvolvendo (x + y) 10 em potências de expoentes decrescentes de 
x, qual é o 6? termo? 

Notemos que: 

o 19 termo conterá x 10 

o 29 termo conterá x 9 

o 69 termo conterá x 5 . 

Portanto o termo procurado é: 

( ^ ) x s • y 5 = 252 x 5 y 5 . 

5 

Um outro modo de encontrarmos o termo desejado seria notar que, 
desenvolvendo o binômio em potências de expoentes decrescentes de x, os 
coeficientes seriam: 


t t t t 

19 termo 29 termo 39 termo (p + 1) termo 


54- E 


E, como queremos o 69 termo, devemos tomar o coeficiente binomial 
( g ), que no nosso caso é ( >. Portanto o termo desejado é ( ^? ) x 5 y s = 

= 252 x 5 y 5 . 


EXERCÍCIOS 


E.159 Qual o coeficiente de x no desenvolvimento de (1 - 2x> 6 ? 
E.160 Desenvolvendo (x + 3y) 9 , qual o termo que contém x 4 ? 

E.161 No desenvolvimento de (1 - 2x 2 ) 5 , qual o coeficiente de x 8 ? 
E.162 Qual o coeficiente de x 6 no desenvolvimento de (x 2 + x -3 ) 8 ? 


E.163 (EFE) Qual o termo em x no desenvolvimento de (x ) 15 ? 

x 

2 

E.164 Qual o termo em x 3 no desenvolvimento de (V^x - — ) 15 ? 

x 

E.165 No desenvolvimento de (x + a) 100 , qual o coeficiente do termo que contém x 60 ? 
E.166 Qual o termo independente de y no desenvolvimento de (y + 


E.167 Qual o termo independente de x no desenvolvimento de (x + — ) n ? 




E.168 (FEI) Qual o termo independente de x no desenvolvimento de (-x + — - — ) ? 

i ^ r is 

E.169 (ENE) Calcular o termo independente de x no desenvolvimenl o de {— — -Vx) 

x 2 

E.170 (ITA) No desenvolvimento de (x+ — ) 2 1 ,nGw* / pela fórmu l a do binômio de 
Newton, existe um termo que não depende de x? 

E.171 Qual o coeficiente de x n + 1 no desenvolvimento de (x + 2} n • x 3 ? 

E.172 (MACK-72) Quantos termos racionais tem o desenvolvimento de { s/2 + V3) 100 ? 


E.173 Calcule aproximadamente (1,002) , usando o Teorema Binomial. 


Solução 

Vamos mostrar que (1 + x) n = 1 + nx para nx pequeno. 
De fato, pelo Teorema Binomial: 


55-E 



(1 + x) n 
(1 + x) n 


1 + ( " >x + ( 2 I X 2 + ... + ( " I . x n 
1 + nx + x 2 + ° (n V, )(n ~ 2) ' + 


porém 

7 2 2 

n (n - 1) x ^ n x 

2 2 

n (n - II (n - 2) x 3 ^ n 3 x 3 

3! 3! 

etc. 

Se nx é pequeno (próximo de zero) então n 2 x 2 , n 3 x 3 , etc são muito pequenos, 
comparados com nx, então, desprezando os termos do desenvolvimento a partir 
do 3? termo, teremos: 

(1 + x) n ^ 1 + n • x. 

No nosso exemplo (1,002) 20 = (1 + 0,002) == 1 + 20 • 0,002 = 1,04. 

Se calcularmos (1,002) 20 sem a aproximação, obteremos 1,0408. 


E.174 Calcule aproximadamente: 

a) (1,002) 10 b > (0,997) 20 

E.175 Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (2x + 3y) ? 

Solução 

(2x + 3y) 4 = (2x) 4 + 4 • (2x) 3 • <3y) + 6 • (2x) 2 • (3y> 2 + 4 • (2x) • (3y) 3 + (3y) 4 

essa igualdade vale V x, y reais; se fizermos x = 1 e y = 1 teremos: 

1? membro: (2 • 1 + 3 • 1 ) =5 = 625 

2? membro: 2 4 + 4 • 2 3 • 3 + 6 • 2 2 • 3 2 + 4 • 2 • 3 + 3 

que é exatamente a soma dos coeficientes. Logo a soma dos coeficientes é 625. 

E.176 Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de: 
a) (3x + 2y 1 10 ? b > < 5x + v) 8 ? 

E.177 (MACK) Indique a soma dos coeficientes de (4x + 3y) 4 sem efetuar o desenvolvi men- 
to. 

E.178 Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de: 
a) (x - y) S ? b > < 3 * - V> 4? 

g 1 79 (EFE) Sendo 1 024 a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (3x + 1) m , calcule 
m. 

E.180 (EFE) Sabendo-se que a soma dos coeficientes de (a + b) m é 256, calcule o numero 
de permutações de — elementos. 


56- E 



Isto é 

A linha contém o coeficiente binomial com n = 0 

A 2? linha contém os coeficientes binomiais com n = 1 

A 3? linha contém os coeficientes binomiais com n = 2 


A k? linha contém os coeficientes binomiais com n = k 
etc. 

60. Podemos também escrever o triângulo de Pascal substituindo cada coefici- 
ente binomial pelo seu valor, isto é: 

1 

1 1 

1 2 1 
13 3 1 

1 4 6 4 1 

1 5 10 10 5 1 


57-E 



61- Notemos que: 


A 1? linha do triângulo contém os coeficientes do desenvolvimento de 
(x + a)°. 

A 2? linha do triângulo contém os coeficientes do desenvolvimento de 
(x + a) 1 . 

A 3? linha do triângulo contém os coeficientes do desenvolvimento de 
(x + a) 2 . 

E assim por diante 



62. Observação 

Na construção do triângulo de Pascal, não é necessário calcular os coefici- 
entes binomiais um a um. Basta usarmos algumas de suas propriedades. 

63. Propriedades do Triângulo de Pascal 

1?) Em cada linha do triângulo, o primeiro elemento vale 1, pois qualquer 
que seja a linha, o primeiro elemento é ( = 1,V n € M. 

m 

0 i 
□ 2 1 

[T] 3 3 1 

\T\ 4 6 4 1 


58- E 


2?) Em cada linha do triângulo, o último elemento vale 1, pois qualquer 
que seja a linha, o último elemento é ( n ) = 1, V n E N. 



i 0 

1 2 Q] 

13 3 [T] 

1 4 6 4 [TI 


3?) A partir da 3? linha, cada elemento (com exceção do primeiro e do 
último) é a soma dos elementos da linha anterior, imediatamente acima dele. 

Esta propriedade é conhecida como relação de Stifel e afirma que: 



A demonstração desta propriedade está na parte de exercícios resolvidos. 


59-E 




4?) Numa linha, dois coeficientes binomiais equidistantes dos extremos, 
são iguais. 

Isto equivale a demonstrar que: 


( n ) = ( n ). 

P n - p 


O que é imediato, pois 
n! 


< n ) = 


p p! (n - p) ! 


( " ) = 


n! 


n - p (n - p)! p! 


© 


64. Exemplos 



1 

1 

2 

1 

1 

1 


a 


1 

□ 

6 

_ 0 

1 5 

0 

0 

i 0 

15 

20 

15 

1 7 21 


35 

35 


21 


EXERCÍCIOS 


E.181 Assinale com V as sentenças verdadeiras e com F as falsas. 

a) ( ° ) = 0 c) ( 4 ) = ( \ ) e) ( 7 ) = ( 1 I 

0 0 4 4 3 

b> ( 8 ) = 1 d) I 8 ) + ( 8 ) = ( 9 ) f ) ( ® ) = ( 15 ) 

8 5 4 5 0 0 

E.182 Demonstre que 

( n ) + ( n ) + ... + I n ) + ... + ( n ) = 2 n , Y n G N. 

0 1 i n 

Solução 

Vamos desenvolver (1 + 1 ) n pelo Teorema Binomial. 


Temos: 


2 n = (1 + 1) n = { n ) • 1 n + ( n ) I o * 1 ‘I 1 +... + ( n ) 1 nH • 1* + ... ( n ) * 1°. 

0 1 i n 

Logo, 2 n = ( n | + { n ) + ... + ( n )+... + í n ). 

0 1 i n 


E.183 Calcule: 


i 4 ) + ( 4 i + ( 4 i + 1 4 ) + i^i. 

0 12 3 4 


E.184 Calcule: 


10 


10 

( 10 > 

i 

10 

( i° 

i 

E 

(10, 

i 

61 E 

- E 

i = 0 


i = 1 


i = 2 



E.185 Calcule m sabendo-se que 
m 


( m ) = 1 .023. 
i 


i = 1 


E. 186 Calcule: £ <"> 

P = 1 

E.187 Prove que se um conjunto A tem n elementos, então, o número de subconjuntos de 
A é 2 n . 

E.188 Quantos subconjuntos não vazios possue o conjunto A com n elementos. 


E.189 (MAPOFEI-74) Calcular o valor da expressão: 

i + <i) n + y ( n Mii n - k .(f) k . 

4 La k 4 4 


k = 1 

E.190 Demonstre que V n E W* 


0 1 2 3 n 


E.191 {EESCUSP) Verificar que quando n é ímpar 
2 1 


n ' 1 = i n i + < n ) + ( n > + ... + ( v >. 

0 2 4 n - 1 


Sugestão : 


[<")+<"> + ... + < ")] + [<"> + < " I + ... + (") + <")] = 2 n 

L 0 2 n - 1 n n-2 3 1 


60-E 


61-E 



E.192 Prove que 


( n ) + 2( n ) + 3( n ) + ... + n • ( n > = n • 2 0 ' 1 


Solução 


Sabemos que: 

(1 +x) n =• ( n | + | n )x + (")x 2 + ... + < n )x n 
0 12 n 

derivando membro a membro em relação a x, temos: 

n • (1 + x) n ' 1 = ( n ) + 2 ( n ) x + 3 ( n > x 2 + ... + n( n ) x"' 1 
12 3 n 

fazendo x = 1 nesta igualdade, resulta: 

n ■ 2 n_1 = ( n ) + 2( n ) + 3( n ) + ... + n{ n ) que é o que queríamos demonstrar. 
12 3 n 


E.193 Prove que: 

2 • 1 ( n ) + 3 • 2( n | + 4 • 3( n ) + ... + n • <n - 1) ( 0 ) = n(n - 1) • 2 n ~ 2 
2 3 4 n 

E.194 Demonstre a relação de Euier 

| m + n ) = ( rn )( n ) + ( m l( n ) + ( m )( n ) + ... + ( m M n ). 

p 0 p 1 p - 1 2 p - 2 p0 

Sugestão : (1 + x) m+n = (1 + x) m • (1 + x) n ; desenvolva cada membro e identifique os 
coeficientes dos termos semelhantes. 


E.195 Usando a relação de Euier, prove que: 

i 2n i = ( n ) 2 + ( n ) 2 + ( n > 2 + ... + t n )\ 
n 0 1 2 n 


E.196 Demonstre a relação de Stifel, isto é: 

( n ) = ( n- ^) + ( n-1 | VnEN, n > 2 e p < n. 

P P - 1 P 

Solução 

Consideremos um conjunto A com n elementos, e consideremos um determinado ele- 
mento a E: A. Vamos calcular o número de combinações dos elementos de A, tomados 
p a p, de dois modos: 

1? modo: Diretamente pela fórmula, isto é, ( n ) MJ 

P w 

2? modo: Calculamos o número de combinações, que não possuam o elemento a. 

Tal número é { n ” 1 ). 

P 

Em seguida, calculamos o número de combinações que possuem o elemento a. Tal 

t í i n - 1 i 

numero é ( ). 

P - 1 


62-E 


Ao todo, o número de combinações será: 

( n - 1 ) + ( n - ’ ) (m) 

p p - 1 


De(T)e (Tí) concluímos que: 
(") = ( n - 1 | + < n - 1 ). 


E.197 Demonstre que a soma dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos é: 


n • (2n + 1)(n + 1) 


Sugestão : use a identidade 


e faça x assumir os valores 1, 2, 3, n. 

E.198 (MAPOFEI-76) Escreva n parcelas contendo o desenvolvimento de (k + 1) 3 para 
k = 1, 2, 3, ..., n - 1, n, Some todas as parcelas, elimine os termos semelhantes e 
obtenha 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 . 

E.199 Mostre que se n (n ^ 2) é par, os valores de ( n ) para p = 0, 1 , 2, ..., n vão crescendo, 

P 

atingem um valor máximo para p = e depois vão decrescendo. 

Solução 

Consideremos dois coeficientes binomiais consecutivos { n ) e ( n ) e calculemos 
seu quociente: p _ ^ P 


( n > — jü 

p _ p! (n - p)i 

n j n! 

p-1 (p-D! (n-p + 1)! 


n - p + 1 


a) Os valores de ( n ) irão crescendo, até atingir o máximo se e somente se — — P— J. > 1 . 

P P 

Portanto 

n-p + 1>p«=>n + 1>2p<=^p< -2-yi . 

Isto é { n ) irá crescendo, quando p variar de 0 até o menor inteiro que não supera 
P 

n + 1 , n 

, que é — . 

2 H 2 

b| Os valores de { n ) irão decrescendo se e somente se -- ~ p + 1 < 1. 

P P 

Portanto 

n-p+1 < p <=> n + 1 < 2p <=> p > n + ^ . 


Isto é { ) irá decrescendo, quando p variar de — +1 até n. 

P 2 


63’ E 




64-E 


V. EXPANSÃO MULTINOMIAL 

} 

65. # Já vimos como é possível obter o desenvolvimento de um binômio (x + a) ^ 
Yn G N. 

Vamos agora, com raciocínio semelhante, obter o desenvolvimento de 
expressões do tipo (x+y + z) n , (x+y + z + t) n etc. (n G N), onde a base da 
potência de expoente n é um polinómio. 


66. Exemplo 1 

(x + y + z) s = (x + y + z) • (x + y + z) - (x + y + z) - (x + y + z) - (x + y + z) 


Pela propriedade distributiva da multiplicação, devemos tomar um termo 
de cada fator (escolhidos entre x, y, z) e em seguida multiplicá-los. Feitas todas 
as escolhas possíveis e multiplicados os termos, a soma desses produtos será o 
desenvolvimento de (x + y + z) 5 . Os tipos de produtos que podemos obter são 
da forma: 

x j • y j - z k 


onde i, j, k G W e i + j + k = 5. 

Para cada i, j, k fixados, o coeficiente do termo x* * y^ • z será o número 
de seqüências de cinco letras, com / letras x, j letras y, e k letras z, isto é: 


5 i! j! k! 

i i k , 51 

Portanto o coeficiente de x * y J * z e . 

d j! k! 

Tomando todos os termos do tipo x' ■ y* • z k para i, j, kGN ei+j+k=5 
e calculando os seus coeficientes, a soma deles, precedidos pelos respectivos 
coeficientes, dará a expansão de (x + y + z) 5 . 

Em particular, o coeficiente do termo x 2 • y 2 • z será: 

p p,i _ 5! _ = 30. 

s 2! 2! 1 ! 


Portanto, o termo em x 2 y 2 z será 30x 2 • y 2 • z. 

De um modo geral, a expansão do polinómio, (x } + x 2 + 
Xj , x 2 , x r G F e n G N será 


y í -i— r — i X?1 • x " 2 ■ - • x " r ) 

Zj \ n t ! n 2 ! ... n r ! j 


+ x r ) n . com 


65-E 



onde a soma é estendida para: 

f n i , n 2 , n r E N 
e 

l n i + n 2 + ... + n r = n . 

67. Exemplo 2 

Qual o coeficiente de xyz no desenvolvimento de (x + y + z) 3 ? 
O coeficiente de xyz é: 

P^‘ = = 6 . 

1! 1! 1! 

68. Exemplo 3 

Qual o coeficiente de x 5 no desenvolvimento de (1 + x + x 2 ) 10 ? 
O termo genérico é 


ríirb (1)i - «x* 1 - <x 2 > k = nyb xi+2k - 

Devemos impor que j + 2k = 5. Vamos resolver essa equação, atribuindo 
valores para j, e notando que i está automaticamente determinado pela condição 
j + j + k = 10. 


i 

k 

' 

1 

2 

7 

3 

1 

6 

5 

0 

5 


Notemos que para j = 0 ou j = 2 ou j = 4 ou j = 6 ou j = 7 ou j = 8 
ou j = 9 ou j = 10 não existe k G N satisfazendo j + 2k = 5. 

Temos, então: 

D i = 7; j = 1; k = 2 

o coeficiente de x 5 será: — — = 360 

7! 1 ! 2! 


2) i = 6; j = 3; k = 1 
o coeficiente de x 5 será: 


6! 3! 1! 


66-E 


3) i - 5; j = 5; k = 0 

o coeficiente de x 5 será: ^ = 252. 

5! 5! 0! 

Logo o coeficiente de x 5 (desenvolvendo todo o polinómio) será: 

(360 + 840 + 252) = 1 452. 

EXERCÍCIOS 

E.207 Desenvolvendo-se o polinómio (x + y + z) 4 , qual o coeficiente do termo em x 2 yz? 
E do termo xyz 2 ? 

E.208 Qual o coeficiente do termo em x 2 y 3 z 2 no desenvolvimento de (x + y + z) 7 ? 

E.209 (FFCLUSP) Mostrar que o coeficiente de x 8 no desenvolvimento de (1 + 3x + 2x 2 ) 10 
é 3 780. 

E.210 Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (x + y + z) 5 ? 


67-E 



Como ganhar em jogos de azar 


Abraham De Moivre nasceu na França mas, após a revogação do Édito de 
Nantes, foi para a Inglaterra, onde dava grande quantidade de aulas de Matemática 
para se sustentar. 

Tomou contato com Newton e Halley e em 1697 foi eleito para o Roya| 
Society e mais tarde para as Academias de Paris e Berlim. Pretendia ser professor 
em uma academia mas mesmo com a proteção de Leibniz não conseguiu e isso 
se deve em parte a sua descendência inglesa. 

Moivre foi o mais importante devoto da Teoria das Probabilidades, inte- 
ressando-se em desenvolver processos gerais e notações que considerava como 
uma "nova Álgebra". 

Sua obra mais célebre foi a " Doutrina das Probabilidades ", em 1718, onde 
apresenta mais de cinquenta problemas e questões, entre outros, a questão sobre 
dados, a probabilidade de tirar bolas de cores diferentes de uma urna e outros 
jogos. 0 prefácio deste livro refere-se às obras de probabilidades de Jacques, Jean 
e Nicolaus Bernoulli. 

É atribufdo a Moivre o princípio segundo o qual a probabilidade de um even- 
to composto é o produto das probabilidades das componentes, embora essa idéia já 
tivesse aparecido em trabalhos anteriores. Este princípio aparece no " Doutrina " 
que ainda contém os primeiros vestígios da lei dos erros ou curvas de distribuição 
interpretada por Moivre. 

Em 1730 publicou "Miscelânea Ana- 
lítica " onde dá um desenvolvimento ana- 
lítico da Trigonometria e um de seus 



Abraham de Moivre 
(1667 - 1754) 


mais importantes resultados é a fórmula 
(cos 0 + i sen 0) n = cos n0 + i sen n0. 

Moivre manteve cordial e extensa 
correspondência com Jean Bernoulli entre 
1704 e 1714, tais eram os interesses comuns 
sobre séries infinitas e probabilidades. Nesta 
época, seus resultados adquiriram tamanha 
importância que Newton ao ser procurado 
para responder questões de Matemática, 
dizia "Procure M. Moivre; ele sabe essas 
coisas melhor que eu". 

Moivre morreu aos 88 anos, oito 
anos depois de Maclaurin, e a partir daí, 
a pesquisa matemática permaneceu por 
muito tempo estagnada na Inglaterra. 


CAPÍTULO III 


PROBABILIDADE 


I. EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS 

69. Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, repetidos em idênticas 
condições, produzem resultados diferentes. Embora não saibamos qual o resulta- 
do que irá ocorrer num experimento, em geral, conseguimos descrever o conjun- 
to de todos os resultados possíveis que podem ocorrer. As variações de resulta- 
dos, de experimento para experimento, são devidas a uma multiplicidade de causas 
que não podemos controlar, as quais denominamos acaso. 

70. Exemplos de Experimentos Aleatórios 

a) Lançar uma moeda e observar a face de cima. 

b) Lançar um dado e observar o número da face de cima. 

c) Lançar duas moedas e observar as seqüências de caras e coroas obtidas. 

d) Lançar duas moedas e observar o número de caras obtidas. 

e) De um lote de 80 peças boas e 20 defeituosas, selecionar 10 peças e 
observar o número de peças defeituosas. 

f) De uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 2 bolas brancas, selecionar 
uma bola e observar sua cor. 

g) De um baralho de 52 cartas, selecionar uma carta, e observar seu naipe. 

h) Numa cidade onde 10% dos habitantes possuem determinada moléstia, 
selecionar 20 pessoas e observar o número de portadores da moléstia. 

i) Observar o tempo que um certo aluno gasta para ir de ônibus, de sua ca- 
sa até a escola. 

j) Injetar uma dose de insulina em uma pessoa e observar a quantidade de 
açúcar que diminuiu. 

k) Sujeitar uma barra metálica a tração e observar sua resistência. 


69- E 



II. ESPAÇO AMOSTRAL 


71. Chamamos de espaço amostrai, e indicamos por Í2, um conjunto formado 
por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 

72. Exemplos 

a) Lançar uma moeda e observar a face de cima. 

Í2 = {k, C} onde K representa cara e C, coroa. 

b) Lançar uma dado e observar o número da face de cima. 

Í2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 

c) De uma urna contendo 3 bolas vermelhas (V), 2 bolas brancas (B) e 5 
bolas azuis (A), extrair uma bola e observar sua cor. 

n = {V, B, A}. 

d) Lançar uma moeda duas vezes e observar a sequência de caras e coroas. 

{(K, K),<K,C),(C, K), (C, C)} 

e) Lançar uma moeda duas vezes e observar o número de caras. 

= { 0 , 1 , 2 } 

f) Um lote tem 20 peças. Uma a uma elas são ensaiadas e observa-se o nú- 
mero de defeituosas. 

{0, 1,2,3 19, 20}. 

g) Uma moeda é lançada até que o resultado cara (K) ocorra pela primeira 
vez. Observa-se em qual lançamento esse fato ocorre. 

{1,2, 3,4,...} 

73. Observação 

Diremos que o espaço amostrai Í2 é finito, se#f2 = nGM* (éo caso dos 
exemplos a, b, c, d, e, f); caso contrário diremos que £2 é infinito (é o caso do 
exemplo g). 

Neste livro , nos restringiremos aos experimentos aleatórios cujos espaços 
amostrais são finitos. 


70-E 


EXERCÍCIOS 


Dar um espaço amostrai para cada experimento abaixo. 


EJ21 1 Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE. 

Ç.Z12 Uma urna contém bolas vermelhas {V), bolas brancas (B) e bolas azuis (A). Uma bola 
é extraída e observada sua cor. 

E.2V3 Uma urna tem 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Uma bolinha é extraída e observado 

^ seu número. 

E.^14 De um baralho de 52 cartas, uma é extraída e observada. 

E.215 Uma urna contém 5 bolas vermelhas (V) e 2 brancas (B). Duas bolas são extraídas, sem 
reposição, e observadas suas cores, na seqüência que foram extraídas. 

E.216 Três pessoas A, B, C são colocadas numa fila e observa-se a disposição das mesmas. 

E.217 Um casal planeja ter 3 filhos. Observa-se a seqüência de sexos dos 3 filhos. 

E.218 Dois dados, um verde e um vermelho são lançados,- observa-se os números das faces de 
cima. 


Solução 

Podemos considerar cada resultado como um par de números (a, b) onde a represen- 
ta o resultado no dado verde e b o resultado no dado vermelho. Isto é, Í2é o conjunto. 


Í2={<1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 

(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) <5, 2) (6, 2) 

(1.3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 

(1.4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 

(1.5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 

(1.6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)} 


E.219 Entre 5 pessoas A, B, C, D, E, duas são escolhidas para formarem uma comissão. Obser- 
/ vam-se os elementos dessa comissão. 


E.220 A uma pessoa (não nascida em ano bissexto) é perguntada a data de seu aniversário 
(mas não o ano do nascimento). Observa-se esta data. 


III. EVENTO 

74. Consideremos um experimento aleatório, cujo espaço amostrai é Í2. Chama- 
remos de evento todo subconjunto de Í2. Em geral indicamos um evento por uma 
letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, . . . , X, Y, Z. 

Diremos que um evento A ocorre se, realizado o experimento, o resulta- 
do obtido for pertencente a A. Os eventos que possuem um único elemento 
(# A = 1) serão chamados eventos elementares. 


71-E 



75. Exemplos 


IV. COMBINAÇÕES DE EVENTOS 


1?) Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima. 

« = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

Eis alguns eventos 

A: ocorrência de número fmpar. A = {1, 3, 5}. 

B: ocorrência de número pi imo. B = {2, 3, 5}. 

C: ocorrência de número menor que 4. C = {1, 2 , 3}. 

D: ocorrência de número menor que 7. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = £2. 

E: ocorrência de número maior ou igual a 7. E = 0. 

2?) Uma moeda é lançada 3 vezes, e observa-se a seqüência de caras e 
coroas. 

£2 = {(K, K, K); (K, K, C); (K, C, K); (K, C, C); (C, K, K); <C, K, C); 
(C, C, K); (C, C, C)}. 

Eis alguns eventos: 

A: ocorrência de cara (K) no 1? lançamento 

A = {(K, K, K); (K, K, C); <K, C, K); (K, C, C)} 

B: ocorrência de exatamente uma coroa 
B = {(K, K, C); (K, C, K); <C, K, K)} 

C: ocorrência de, no máximo, duas coroas 

C = {(K, K, K); (K, K, C); (K, C, K); (K, C, C); (C, K, K); 

(C, K, C); (C, C, K>} 

D: ocorrência de pelo menos duas caras 

D = {(K, K, K); (K, K, C); (K, C, K); (C, K, K)} 

76. Observação 

Notemos que, se # £2 = n, então £2 terá 2 n subconjuntos e, portanto, 2 n 
eventos. Entre os eventos, salientamos o Ç$ (chamado evento impossível) e o 
próprio £2 (chamado evento certo). 


< Se usarmos certas operações entre conjuntos (eventos), poderemos combinar 
conjuntos (eventos), para formar novos conjuntos (eventos). 

77. a) União de dois Eventos 

Sejam A e B dois eventos; então A U B será também um evento que ocorrerá 
se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrem. Dizemos que A U B é a união 
entre o evento A e o evento B. 

78. b) Intersecção de dois Eventos 

Sejam A e B dois eventos; então A Pi B será também um evento que ocorrerá 
se, e somente se, A e B ocorrerem simultaneamente. Dizemos que AflBéa 
intersecção entre o evento A e o evento B. 

Em particular, se A O B = 0, A e B são chamados mutuamente exclusivos. 

79. c) Complementar de um Evento 

Seja A um evento; então A c será também um evento que ocorrerá se, e 
somente se, A não ocorrer . 

Dizemos que A c é o evento complementar de A. ^ 

80. Exemplo 

Um dado é lançado e observado o número da face de cima. 

£2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 

Sejam os eventos: 

A: ocorrência de número par A = {2, 4, 6} 

B: ocorrência de número maior ou igual a 4 B = {4, 5, 6} 

C: ocorrência de número fmpar C = {1, 3, 5} 

então teremos: 

A U B: ocorrência de número par ou número maior ou igual a 4. 

A U B = {2, 4, 5, 6} 

A O B: ocorrência de um número par e um número maior ou igual a 4. 

A n B = {4, 6} 


72 E 


73-E 



A Pi C: ocorrência de um número par e um número ímpar. 

A P C = J2Í (A e C mutuamente exclusivos). 

A C : ocorrência de um número não par 
A C = {1, 3, 5} 

B c : ocorrência de um número menor que 4 
B c = {1, 2, 3} 

81. d) União de n Eventos 

Seja A 1# A 2/ . . A n uma seqüência de eventos, então 

\J Ai = A, U A 2 U . . . U A n 

i = 1 

será também um evento que ocorrerá se, e somente se, ao menos um dos eventos 
Aj ocorrer . Dizemos que Aj U A 2 U . . . U A n é a união dos eventos A t , A 2 , . . A n . 

82. e) Intersecção de n Eventos 

Seja Ai, A 2 , . . A n uma seqüência de eventos, então 
n 

q Aj = Ai n a 2 n ... An. 

i =1 

será também um evento que ocorrerá se, e somente se, todos os eventos Aj ocor- 
rerem simultaneamente: 

83. Exemplo 

Um número é sorteado entre os 100 inteiros de 1 a 100. Sejam os eventos 
Aj: ocorrência de um número maior que i, Vi S (1, 2, 3, 4} 

Então: 

A, = {2, 3, 100} 

A 2 = (3, 4 100} 

A, ; {4, 5 100} 

A 4 = {5, 6 100} 

M Aj = {2, 3 100} 0 Aj = {5, 6 100}. 

i=i i=1 


74-E 


EXERCÍCIOS 


Ê.221 1 ima urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Uma bolinha é escolhida e 
* observado seu número. Seja £2 = {l , 2, 3, . . . , 29, 30}. Descrever os eventos: 

a) o número obtido é par, 

b) o número obtido é ímpar, 

c) o número Obtido é primo, 

d) o número obtido é maior que 16, 

e) o número é múltiplo de 2 e de 5, 

f) o número é múltiplo de 3 ou de 8, 

g) o número não é múltiplo de 6. 

E.222 Dois dados, um verde e um vermelho são lançados. Seja Í2 o conjunto dos pares (a, b) 
onde a representa o número do dado verde e b do dado vermelho. 

Descrever os eventos: 

a) A: ocorre 3 no dado verde, 

b> B: ocorrem números iguais nos dois dados, 

c) C: ocorre número 2 em ao menos um dado, 

d) D: ocorrem números cuja soma é 7, 

e) E: ocorrem números cuja soma é menor que 7. 

E.223 Uma moeda e um dado são lançados. Seja 

Í2 = {(K, 1); (K, 2); <K, 3); <K, 4); (K, 5); (K, 6); 

(C, 1); (C, 2); (C, 3); (C, 4); (C, 5); (C, 6l}. 

Descreva os eventos: 

a) A: ocorre cara, b) B: ocorre número par, 

c) C: ocorre o número 3, d) A U B, 

e) B PI C, f) A O C, 

g> A C , h) C C . 

E.224 Um par ordenado (a, b) é escolhido entre os 20 pares ordenados do produto carte- 
siano A X B onde A « {l, 2, 3, 4 } e B = {l, 2, 3, 4, 5 }. 

Considere £2 = {(a, b) I 3 £ A A b £ b} Descrever os eventos: 
a) A = {(x, y) I x = y} b) B = {{x, y) I x > y} 

c) C = {(x, y) I x + y = 2 } d) D = {{x, y) I y = x 2 } 

e) E = {{x, y) I x = l} f) F = {(x, y) I y = 3 }. 

E.225 Uma urna I tem duas bolas vermelhas (V) e três brancas e a urna II tem cinco bolas 

vermelhas e seis brancas. Uma urna é escolhida e dela extraída uma bola e observada sua 
cor. Seja: 

Í2 = {(I, V); (I, B); (II, V»; (II, B)} 

Descreva os eventos: 

a) A: a urna escolhida é a I b) B: a urna' escolhida é a II 

c) C: a bola escolhida é vermelha d) D: a bola escolhida é branca 

e) A U B f) A H C 

g) D c . 

75-E 



E.226 Um experimento consiste em perguntar a 3 mulheres se elas usam ou não o sabonete 
marca A. 

a) Dar um espaço amostrai para o experimento. 

b) Descrever o evento A: no máximo duas mulheres usam o sabonete marca X. 


V. FREQUÊNCIA RELATIVA 

84. Num experimento aleatório, embora não saibamos qual o evento que irá 
ocorrer, sabemos que alguns eventos ocorrem freqüentemente e outros, raramen- 
te. Desejamos então, associar aos eventos, números que nos dêem uma indicação 
quantitativa da ocorrência dos mesmos, quando o experimento é repetido muitas 
vezes, nas mesmas condições. Para isso, vamos definir freqüência relativa de um 
evento. 

i 

85. Consideremos um experimento aleatório com espaço amostrai £2, finito 
isto é, Í2 = {a ! , a 2f . . . , a k }. Suponhamos que o experimento seja repetido N 
vezes, nas mesmas condições. Seja-n; o número de vezes que ocorre o evento 
elementar aj. Definimos freqüência relativa do evento {aj} como sendo o núme- 
ro fj, tal que 

fi = Vi e {1, 2 k} 

Por exemplo, se lançarmos um dado 100 vezes (N = 100) e observarmos o nú- 
mero 2 (evento 2) 18 vezes, então, a freqüência relativa desse evento elementar 


= 0,18. 


A freqüência relativa possue as seguintes propriedades: 

a) 0 < fj < 1 Vi, pois 0 < “■ < 1. 


b) fi + f 2 + ■ ■ ■ + = 1 P° is 


ni n 2 

— í- + — — + 

N N 


nt< = n t + n 2 + . . , + n k N 1 


c) Se A é um evento de £2 (A # 0), a freqüência relativa do evento A 
(f A ) é o número de vezes que ocorre A, dividido por N. É claro que 


• n- i 


76-E 


Por exemplo se A = {a lf a 3 , a 5 } então: 


+ n 3 + n 5 
N 


fi + f, + f< 


d) Verifica-se experimental mente que a freqüência relativa tende a se "esta- 
bilizar" em torno de algum valor bem definido, quando o número N de repeti- 
ções do experimento é suficientemente grande. 


VI. DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE 

86. Já vimos que a freqüência relativa nos dá uma informação quantitativa da 
ocorrência de um evento, quando o experimento é realizado um grande número de 
vezes. O que iremos fazer é definir um número associado a cada evento, de modo 
que ele tenha as mesmas características da freqüência relativa. É claro que dese- 
jamos que a freqüência relativa do evento esteja "próxima" desse número , quan- 
do o experimento é repetido muitas vezes. A esse número daremos o nome ôe pro- 
babilidade do evento considerado. 

87. Consideremos então um espaço amostrai finito £2 = {a 1# a 2 , . a k }. 
A cada evento elementar {aj} vamos associar um número real , indicado por 
p({aj}) ou pj, chamado probabilidade do evento {a/}, satisfazendo as seguintes 
condições: 

(T) o < Pi < i Vi e {1,2 k} 

dD £ pí = Pi + p2 + • . ■ + Pk = i- 

i = i 

Dizemos que os números p lr p 2 , . . . , p k definem uma distribuição de pro- 
babilidades sobre Í2. 

Em seguida, seja A um evento qualquer de £2. Definimos probabilidade do 
evento A (e indicamos por P (A) ) da seguinte forma: 

a) Se A = 0, P (A) = 0 

b) Se A V0, P (A) = £ Pj . 

aj^A 

Isto é, a probabilidade de um evento constituído por um certo número de 
elementos é a soma das probabilidades dos resultados individuais que constituem 
o evento A. 


77-E 



88. Exemplo 

Í2 = {a i, 32, 83, 84}. 

Consideremos a distribuição de probabilidades: 

Pi = 0,1 p 2 = 0,3 p 3 = 0,2 p 4 = 0,4 
seja o evento A = {a 1( a 2 , a 4 } então, por definição: 

P (A) = pi + P 2 + P 4 = O- 1 + °- 3 + °- 4 = °- 8 - 

89. Observação 

Mostramos acima, como se pode calcular a probabilidade de um evento A 
(p( A) ) quando é dada uma distribuição de probabilidades sobre Í2. Surge então 

a pergunta. Que critérios usamos para obter os números pi, Pk ? 

Podeçnos responder dizendo inicialmente que, do ponto de vista formal, 
quaisquer valores pi, Pk satisfazendo. 

I) 0 < Pi < 1 Vi G {1, 2 k} 

k 

II) £ Pi = 1 

i=l 

constituem uma distribuição de probabilidades sobre Í2. Por outro lado, para ser- 
mos realistas, devemos fazer com que cada número Pj esteja "proximo da fre- 
qüência relativa f„ quando o experimento é repetido muitas vezes. 

Isto pode ser feito, levantando-se hipóteses a respeito do experimento, como 
por exemplo considerações de simetria; é claro que nestas hipóteses é fundamental 
a experiência e o bom senso de quem vai atribuir as probabilidades aos eventos 
elementares. Nenhuma pessoa de bom senso diria que a probabilidade de obser- 
varmos uma bola vermelha é igual a de observarmos uma bola branca, quando 
extraímos uma bola de uma urna contendo 9 bolas vermelhas e uma branca. Por 
outro lado, se faltam hipóteses para uma conveniente escolha de uma distribui- 
ção, recorre-se então à experimentação para se avaliar os p,'s através da frequência 

relativa. 

90. Exemplos 

1?) Uma moeda é lançada e observada a face de cima. 

Temos: 

n = {k, c} 

t t 

Pi P2 1 

Uma distribuição razoável para £2 seria: Pi = P2 = • 


78-E 


Isto significa que admitimos que a freqüência relativa de caras e de coroas é 
próxima de ~ quando a moeda é lançada muitas vezes. 

4 

Experiências históricas foram feitas por Buffon, que lançou uma moeda 
4 048 vezes e observou o resultado cara 2048 vezes (freqüência relativa de 

caras: -§-£[§ = 0,5059). 

4 048 


2?) Um dado é lançado, e observado o número da face de cima. 
Temos: 


£2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

t t t t t f 

Pl P2 P3 P4 PS Pé 



Uma atribuição razoável para p u p 2 , p 3 , p 4 , p s e p 6 (por razões de simetria) 


1 

Pl = P2 = P3 = P4 = Ps = Pé = -g. 


Nesse caso, a probabilidade de ocorrência de um número ímpar (A = {l, 3, 5}) 

será: 


P(A) = p x + p 3 + p 5 = — 


2 ' 


3?) Seja £2 — {aj, a 2( 

Se p 4 = 4p lf p 3 = 3pi e p 2 = 2pj qual a probabilidade do evento 
A - {a i , a 4 }? 

Temos: 



79- E 



VII. TEOREMAS SOBRE PROBABILIDADES EM ESPAÇO 
AMOSTRAL FINITO 

91. Teorema 1 

"A probabilidade do evento certo é 1". 

Demonstração 

De fato, o evento certo é íl - {a t , a 2 , . . . , e por definição: 

P(£2) = Pi + P2 + - • ■ + Pk = 1- 

92. Teorema 2 

"Se A C B então P(A) < P(B)'\ 

Demonstração 

1) Se A = B, por definição P(A) = P(B) e portanto P(A) < P(B). 

2) Se A £ B 

Seja A - {ai, a 2 , . . . , a r } 

e B = {ai, a 2 , . . ■ , a r » a r + i» • • ■ » a r + q} 

então: 

P(A) = pi + P 2 + • • • + Pr 

P(B) = P! + p 2 + . . . + Pr + Pr + 1 + • ■ • + Pr + q* 

Como: 

p u p 2í . . . , p r p r+q são todos não negativos, segue-se que: 

P(A) < P(B) 

no caso particular de A = 0, temos P(A) = 0 e P(B) > 0, e portanto P(A) < P(B) 

93. Teorema 3 

"Se A é um evento, então 0 < P(Á) < V. 

Demonstração 
0 C A c n 
Logo, pelo teorema 2: 

P(0) < P ( A) < ?(Í2) e portanto 0 < P(A) < 1. 

94. Teorema 4 

"Se A e B são eventos, então P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A O B)". 


80-E 


0 



Por outro lado, P(A) = £ Pj e P(B) = £ Pj . 

ajGA ajGB 

Ora, quando somamos P(A) + P(B) as probabilidades dos eventos elementa- 
res contidos em A O B são computadas duas vezes (uma, por estarem em A e 
outra, por estarem em B). 

Portanto P(A) + P(B) - P(A n B) é a soma das probabilidades dos eventos 
elementares contidos em A U B, logo 

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B). 


95. Observações 

a) Em particular, se A e B são mutuamente exclusivos (A O B = 0), então 
P(A U B) = P(A) + P(B) - P<0) 

0 

= P(A) + P(B). 

b) O resultado anterior pode ser generalizado para n eventos A] , A 2 , A 

mutuamente exclusivos dois a dois, da seguinte forma: 

P(A, U Aj U . . . U A n ) = P(A, ) + P(A 2 ) + . . . + P(A n ). 



96. Teorema 5 

"Se A é um evento então P(A C ) = 1 - P(A)". 
Demonstração 

Como A O A c = 0e A U A c = Í2 
segue-se pelo Teorema 4, que 

P(A U A c ) = P(A) + P(A C ) 
logo 

1 = P(A) + P(fif) => P(A C ) = 1 - P(A). 



81-E 




97. Exemplo de Aplicação dos Teoremas 

Uma urna contém 100 bolinhas numeradas, de 1 a 100. Uma bolinha é esco- 
lhida e observado seu número, Admitindo-se probabilidades iguais a ^ para 
todos os eventos elementares, qual a probabilidade de: 

a) Observarmos um múltiplo de 6 e de 8 simultaneamente? 

b) Observarmos um múltiplo de 6 ou de 8? 

c) Observarmos um número não múltiplo de 5 ? 

Temos: 

Í2 = {1, 2, 3 99, 100} 

a) Um múltiplo de 6 e 8 simultaneamente terá que ser múltiplo de 24, por- 
tanto, o evento que nos interessa é: A = {24, 48, 72, 96} 

1_ _1_ + J_+J 4 1_ 

( " 100 + 100 100 100 " 100 “ 25' 

b) Sejam os eventos: 

B: o número é múltiplo de 6, C: o número é múltiplo de 8. 

o evento que nos interessa é B U C, então 

B = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96} 

• ™ = 

C = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96} 

12 3 

6 P(C) = 1ÕÕ = ~25' 

Portanto P(B U C| = P(B) + P(C) - P(B n C) 
ora, B n C nada mais é do que o evento A (do item a). 

Logo, P(B O C) = 

Zt> 4 3 16 

Segue-se então que: p(B U C) - ~ ~ 25* 

c) Seja D o evento, o número é múltiplo de 5. 

Temos: 

D = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 
90, 95, 100} 

20 1 
P(D) = "iõõ = T 

1 4 

O evento que nos interessa é D c . Logo, P(D C ) = 1 - P(D) = 1 - y = y- 


82-E 


EXERCÍCIOS 


E.227 Considere o espaço amostra! £2 = {a \ , a 2 , . 33 , a<j} e a distribuição de probabilidades, 

* tal que: 

Pi - P2 = P 3 e P 4 ~ 0,1. Calcule: 

Pl, P2 e p 3 . 

b) Seja A o evento A = {ai, a 3 }. Calcule P(A). 
c> Calcule P(A C ). 

d) Seja B o evento B = {aj, 84 }. Calcule P(B). 
e> Calcule P(A U B), e P(A Pl B). 
f) Calcule P[(A U B)C] e P[(A O B)C] 

E.228 Seja £2 = {k, c} o espaço amostrai do lançamento de uma moeda. É correta a distri- 
buição de probabilidades P(K| = 0,1, P(C) - 0,9? 

(Lance uma moeda 100 vezes, calcule a freqüência relativa do evento cara e verifique 
se esta distribuição é compatível com a realidade). 

E.229 Uma moeda ó viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair 
coroa. Calcule a probabilidade de: 

a) ocorrer cara no lançamento desta moeda, 

b) ocorrer coroa no lançamento desta moeda. 

E.230 Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de observarmos um número na 
face de cima é proporcional a esse número. Calcule a probabilidade de: 

a) ocorrer número par, 

b) ocorrer número maior ou igual a 5. 

Solução: 

= { 1 , 2, 3, 4, 5 , 6} 

Temos 

P2 = 2 Pi 
P3 = 3pi 
P4 = 4pt 
Ps = 5pi 
P6 - 6 Pt 

Porém, Pi + P 2 + P 3 + P 4 + Ps + Pé = 1 1 

Logo, Pl + 2p, + 3p, + 4pj + 5p! +6 Pl = 1 21 Pl = 1 =» Pl = -y 


a) o evento que nos interessa é A = { 2 , 4, 6} 
PIA) = P2 + P 4 + P6=2 *^j' + 4 • — + 6 = 


b) o evento que nos interessa é B = { 5 , 6} 


P(B) = p 5 + p 6 = 5 • — + 6 • — 
5 6 21 21 


11 

21 ’ 


83-E 



E.231 Um dado é viciado de modo que a probabilidade de observarmos qualquer número par 
é a mesma, e a de observarmos qualquer número ímpar é também a mesma. Porém um 
número par é três vezes mais provável de ocorrer, do que um número ímpar. Lançan- 
do-se esse dado, qual a probabilidade de: 

a) ocorrer um número primo? 

b) ocorrer um múltiplo de 3? 

c) ocorrer um número menor ou igual a 3? 

E. 232 Seja o espaço amostrai £2 = {aj, a 2 , . . . , aio) e considere a distribuição de proba- 
bilidades 

Pi = P ( {a j } ) = K • i Vi G {l. 2 3 10} 

a) Calcule K. 

b) Calcule P3 e p 7 . 

c) Seja o evento A = {ai, a 2 , a^, a^}, calcule P(A). 

d) Calcule P(A^). 

E. 233 Seja o espaço amostrai: 

Í2 = {O, 1. 2 10} 

e considere a distribuição de probabilidades 

Pi = p({i}> = l 1 . 0 ) (0,6)' • (0,4)'°-' Vi G {o, 1, 2 10} 

10 

a) Mostre que ^ Pi “ 1 * 

U0 

b) Calcule P3. 

c) Seja o evento A - {O, 1, 2}. Calcule P(A) e P(A ). 

E.234 Se A e B são eventos quaisquer £2, prove que PlA U BK PÍA) + P(B). 

E.235 Se A e B são eventos de £2, prove que: 

PÍA n B) < P(A) < PÍA UB)< P(A) + P(B). 

E.236 Se A e B são eventos tais que: P (A) = 0,2, P(B) = 0,3 e P(A H B) = 0, 1. 

Calcule: 

a) P(A U B) b) P(A C ) c) P(B C ). 

E.237 Se A, B e C são eventos de £2, prove que: 

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P (C) - PIA flB)- P(A O C) - P(B Í1CI + 

+ p(a n b n o. 

E.238 Se A, B e C são eventos tais que: 

P(A) = 0,4, P(B) = 0,3, P(C) = 0,6, P(A O B) = PÍA HC)= P(B Pl C) = 0,2 

e PÍA O B O C> = 0,1 calcule: 

a) PÍA U B) b) PÍA U C) c) PÍA U 8 U C). 


84- E 


VIII. ESPAÇOS AMOSTRAIS EQUIPROVÁVEIS 


* 

98. Seja £2 = {a lf a 2 , a^}. Diremos que uma distribuição de probabilidades 

sobre £2 é equiprováveí , se Pi = p 2 = ... = p^ isto é, se todos os eventos elemen- 
tares de £2 tiverem a mesma probabilidade. Em geral, as caractensticas do experi- 
mento é que nos levam a supor uma distribuição equiprováveí. 


99. Exemplo 


De um baralho de 52 cartas, uma delas é escolhida. 

Seja: Í2 = (2c, 2o, 2e, 2p, 3c, 3o, 3e, 3p, .... Ac, Ao, Ae, Ap}. 

Os índices c, o, e, p indicam, respectivamente, naipe de copas, ouros, 
espadas e paus. 

É razoável supor que cada evento elementar tenha a mesma probabilidade. 
Como temos 52 elementos em Í2 então a probabilidade de qualquer evento 
elementar é: 

-i- 


Seja o evento A: a carta é de copas. 
Então: A = (2c, 3c, 4c Kc, Ac} 


Como # A = 13 


P (A) = 1 + 1 + ... + _L 
52 52 52 


Seja o evento B: a carta é um rei. 
Então: B = {Kc, Ko, Ke, Kp} 


P(B) = — + -1 + -L + -1 
52 52 52 52 


Seja o evento C: a carta é um rei de copas. 
Então: C = {K c } 


PÍC) = -L. 
52 


85-E 



IX. PROBABILIDADE DE UM EVENTO NUM ESPAÇO 
EQUIPROVÁVEL 

100. Seja £2 = {a 1; a 2 , .... a^} e uma distribuição equiprovável p, 

Vi G {1, 2 K}. 

Seja A um evento, tal que: 

A = {ai , 82 , •••, 3r } 

P(A) = P, + Pj + ... + Pr = £ + ~ + ... + £ 


p (A) = — , isto é, num espaço £2, com distribuição equiprovável. 
K 


P(A) = 2_ = Èò, 

' k m 


101. Observação 


Dado um conjunto com N elementos, escolher ao acaso n elementos desse 
conjunto, significa que cada subconjunto (ordenado ou não) de n elementos tem 
a mesma probabilidade de ser escolhido. 


102. Exemplo 

De um baralho de 52 cartas, duas sao extraídas ao acaso, sem reposição. 
Qual a probabilidade de ambas serem de copas? 

Temos: 

Cada par de cartas possíveis de serem extraídas, pode ser considerado como 
uma combinação das 52 cartas tomadas duas a duas. Isto é,‘ 

£2 = {{ 2 C , 2 e }, {2 C , 2 p } {5 C , 7 e } {A e , A p }} 

e nesse caso # £2 = ( ^ ) = — - 5 ~ = 1 326. 

A é o evento (subconjunto) formado pelas combinações de cartas de copas, 

isto é 

A = {{ 2 C , 3 C }, {2 C , 4 C } {K c , A c }} 


86- E 


e nesse caso # A = ( ^ ) = ^ * 12 - 70 
2 2 


Logo, P(A) 


78 39 1 

1 326 663 17 


Poderiamos ter resolvido o problema, considerando £2 como sendo formado 
por arranjos, ao invés de combinações, isto é, 

£2 = { (2 C , 2 p ); (2 p , 2 C ); ( 6 p , 3 C ); (3 C , 6 p ); (A c , A p )} 

e #£2 = A S2 2 = 52 • 51 = 2 652. 

e o evento A seria formado pelos arranjos de duas cartas de copas, isto é: 

A = {(2 C , 3 C ), (3 C , 2 C ), (K c , A c ), (A c , K c )} 


e # A = A, 


13-12= 156. 


Portanto: 


P(A) = 


2.652 17 


Isto e, £2 pode ser descrito como conjunto de arranjos ou de combinações, 
que a probabilidade do evento será a mesma. No entanto, é importante observar 
que se £2 for formado por combinações, A também terá que ser (pois A C £2) 
bem como, se for £2 formado por arranjos, A também o será. 

Em muitos problemas de probabilidades ocorre esse fato, isto é, a escolha 
o espaço amostrai e facultativa. Entretanto, em outros problemas, como veremos 
isto nao será possível. ' 


EXERCÍCIOS 


I De um baralho de 52 cartas, uma é extrafda ao acaso. Qual a probabilidade de cada 
um do$ eventos abaixo? 

a) ocorre dama de copas 

b) ocorre dama 

c) ocorre carta de naipe "paus" 

d) ocorre d^ma ou rei ou valete 

e) ocorre uma carta que não é um rei. 


87-E 




E.240 Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. Qual a probabilidade 
do número escolhido 


a) ser par? c) ser primo? 

b) ser ímpar? d) quadrado perfeito? 



Um número é escolhido ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100. Qual a probabilidade 
do número 


a) ser múltiplo de 9? 

b) ser múltiplo de 3 e de 4? 

c) ser múltiplo de 3 ou de 4? 



Os coeficientes a e b da equação ax = b são escolhidos ao acaso entre os pares orde- 
nados do produto cartesiano A X A, sendo A = {l, 2, 3, 4}, sendo a o 1? elemento 
do par e b o 2?. Qual a probabilidade da equação ter raízes inteiras? 


E.245 Dois dados, um verde e um vermelho são lançados e observados os números das 
faces de cima. 

ai Qual a probabilidade de ocorrerem números iguais? 

b) Qual a probabilidade de ocorrerem números diferentes? 

c) Qual a probabilidade da soma dos números ser 7? 

d) Qual a probabilidade da soma dos números ser 12? 

e) Qual a probabilidade da soma dos números ser menor ou igual a 12? 

f) Qual a probabilidade de aparecer número 3 em ao menos um dado? 

E.246 Numa cidade, 30% dos homens são casados, 40% são solteiros, 20% são desquitados 
e 10% são viúvos. Um homem é escolhido ao acaso. 

a) Qual a probabilidade dele ser solteiro? 

b) Qual a probabilidade dele não ser casado? 

c} Qual a probabilidade dele ser solteiro ou desquitado? 


E.243 Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Uma bola é escolhida ao 
acaso da urna. Qual a probabilidade da bola escolhida ser: 

a) branca? b) vermelha? c) azul? 

Solução 

Sejam; 

B i» b 2 » b 3 as bolas brancas 

Vi, V 2 as bolas vermelhas 

Ai, A 2 , A 3 , A 4 , A 5 as bolas azuis. 

Um espaço amostrai para o experimento é: 

Í2 = {b,, B 2 , Bj, V,. V 2 , A 1( A 2 , A 3 , A 4 , a s), #S2 = 10. 

a) Seja o evento A: a bola extraída é branca, então: 

A = {B , , B 2 , B 3 }, #A = 3, logo 

• w 

bola extraída é vermelha, então B = {Vj, V 2 }, #B = 2, logo 

bola extraída é azul, então: 

A4, A5}, #C = 5, logo 

E.244 Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 10 amarelas. Uma bola é escolhida 
ao acaso. Qual a probabilidade: 

a) da bola não ser amarela? 

b) da bola ser branca ou preta? 

c) da bola não ser branca, nem amarela? 


b) Seja o evento B: a 

P<B) = — = 1. 
10 5 


c) Seja o evento C: a 
C = {Ai , A 2 , A3, 

P(C> = — = 1. 
10 2 


E.247 Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 
10 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabili- 
dade de que: 

a) ele estude Economia e Engenharia? 

b) ele estude somente Engenharia? 
cí ele estude somente Economia? 

d) ele não estude Engenharia, nem Economia? 

e) ele estude Engenharia ou Economia? 

Solução 

Sejam os eventos: 

A: o aluno estuda Engenharia. 

B: o aluno estuda Economia. 

O diagrama ao lado, permite responder 
facilmente as perguntas. 

Ê fácil perceber que 280 alunos não estudam Engenharia, nem Economia: 

{500 - 70 - 10 - 140 = 280). 


a) 

10 

1 

c) ü 2 

7 

e) 220 = 

11 


500 

50 

500 

25 

500 

25 

b) 

70 

7 

d) 280 
500 

14 



500 

50 

25 




E.248 De um grupo de 200 pessoas, 160 têm fator RH positivo. 100 têm sangue tipo O e 
80 têm fator RH positivo e sangue tipo O, Se uma dessas pessoas for selecionada ao 
acaso, qual a probabilidade de: > 

a) seu sangue ter fator RH positivo? 

b) seu sangue não ser tipo O? 

c) seu sangue ter fator RH positivo ou ser tipo O? 



88-E 


89-E 




E.249 Uma cidade tem 50 000 habitantes e 3 jornais A, B, C. Sabe-se que: 

15 000 lêem o jornal A 
10 000 lêem o jornal B 
8 000 lêem o jornal C 
6 000 lêem os jornais A e B. 

4 000 lêem os jornais A e C 
3 000 lêem os jornais B e C 
1 000 lêem os três jornais. 

Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade de que: 

a) ela leia pelo menos um jornal? 

b) leia só um jornal? 

E.250 Um colégio tem 1 000 alunos. Destes: 

200 estudam Matemática 
180 estudam Física 
200 estudam Química 
20 estudam Matemática, Física e Química 
50 estudam Matemática e Física 
50 estudam Física e Química 
70 estudam somente Química. 

Um aluno do colégio é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de 

a) ele estudar só Matemática? 

b) ele estudar só Física? 

c) ele estudar Matemática e Química? 

E.251 Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual a probabilidade de: 

a) observarmos 3 coroas? 

b) observarmos exatamente uma coroa? 

c) observarmos pelo menos uma cara? 

d) observarmos nenhuma coroa? 

e) observarmos no máximo 2 caras? 

E.252 Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 são formados números de 4 algarismos distintos. Um 
deles é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade dele ser: 

a) par? b) ímpar? 

Solução 

Seja £2 o conjunto dos números de 4 algarismos distintos formados com os dígitos 
1, 2, 3, 4, 5. Então: 

#Í2 = A 5i 4 = = 120. 

a) Seja B o evento, o número escolhido é par. Então: 

2 A4 - 3 = 24 #B = 24 + 24 = 48. Logo P(B) = — = iL. 

4 A 43 = 24 120 5 

r 

b) Seja C o evento, o número é ímpar. Como C = B , segue-se que: 

P(C) - 1 - P(B) ** 1 — 2. = -5.. 

5 5 


90-E 


E.253 Em uma urna existem 6 bolinhas numeradas, de 1 a 6. Uma a uma elas são extraídas, 
sem reposição. Qual a probabilidade de que a seqüência de números observados seja 
crescente? 

E.254 Oito pessoas, (entre elas Pedro e Silvia) são dispostos ao acaso em uma fila. Qual a 
probabilidade de: 

a) Pedro e Silvia ficarem juntos? 

b) Pedro e Silvia ficarem separados? 

E.255 Nove livros são colocados ao acaso numa estante. Qual a probabilidade de que 3 livros 
determinados fiquem juntos? 


E.256 Uma loteria consta de 1 000 números, de 1 a 1 000. Dez números são sorteados ao 
acaso, sem reposição, e ao 1? número sorteado, corresponde o 1? prêmio, ao 2? número 
sorteado, o 2? prêmio e assim por diante, até o 10? número sorteado. Se uma pessoa 
é portadora do bilhete n? 341, qual a probabilidade dela ganhar: 

a) o 1? prêmio? b) o 4? prêmio? c) o 10? prêmio? 

E.257 Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de observarmos 5 caras e 5 coroas? 

E.258 Um adivinho diz ser capaz de ler o pensamento de outra pessoa. É feita a seguinte 
experiência: seis cartas (numeradas de 1 a 6) são dadas à pessoa, que concentra sua 
atenção em duas delas. 0 adivinho terá que descobrir essas duas cartas. Se o adivinho 
estiver apenas "chutando", qual a probabilidade dele acertar as duas cartas, nas quais 
a outra pessoa concentra a atenção? 

E.259 (Problema clássico do aniversário). 

Em um grupo de n pessoas, qual a probabilidade de que pelo menos duas façam 
aniversário no mesmo dia? (Supondo que nenhuma tenha nascido em ano bisexto). 


Solução 


Sejam os eventos: 

A: pelo menos duas entre as n pessoas fazem aniversário no mesmo dia. 

A^: todas as n pessoas fazem aniversário em dias distintos. 

Cada data de aniversário pode ser considerada como um número entre 1 e 365 (inclusive). 
Logo, o espaço amostrai é constituído de todas as n-uplas ordenadas onde cada ele- 
mento pode ser um inteiro de 1 a 365 (inclusive). Logo, pelo Princípio Fundamenta / 
da Contagem: 


#£í = 365 n . 

O evento A*- consiste em todas as enuplas ordenadas, de elementos distintos, onde 
cada elemento pode ser um inteiro ela 365. Logo 

#A C - A 365 n = 365 * 364 • 363 * ... • (365 - n + 1). 

Logo P(A C ) = # aC = 365 - 364 - 363 4 ... - (365 - n + 1) 

#£2 365 n 


Portanto, 


P(A) = 1 - P(A C ) = 1 


365 • 364 • 363 » ... ♦ (365 - n + 1 ) 
365 n 


91-E 



Eis os valores de P(A) para alguns valores de n. 

n - 20, P (A) = 0,41 
n - 40, P (A) = 0,89 
n = 50, P (A) = 0,97 (quase certeza). 

E.260 Uma urna contém seis bolinhas numeradas de 1 a 6. Quatro bolinhas são extraídas ao 
acaso sucessivamente, com reposição. Qual a probabilidade de que todas assinalem 
números diferentes? 

E.261 Cinco algarismos são escolhidos ao acaso, com reposição, entre os algarismos 0, 1, 
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Qual a probabilidade dos cinco algarismos serem diferentes? 

E.262 Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Duas bolas são extraídas ao acaso, 
com reposição, qual a probabilidade de: 

a) ambas serem vermelhas ? b) ambas serem brancas? 

E.263 Uma urna contém 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 2 pretas. Duas bolas são extraídas 
ao acaso, e com reposição. Qual a probabilidade de: 

a) ambas serem vermelhas? c) nenhuma ser preta? 

b) nenhuma ser branca? 

E.264 De um baralho de 52 cartas, três são extraídas sucessivamente ao acaso, sem reposição. 
Qual a probabilidade de que as cartas sejam de "paus"? 

E.265 De um baralho de 52 cartas, duas são extraídas ao acaso e sem reposição. Qual a 
probabilidade de observarmos: 

a) dois ases? b) um ás e um rei (sem levar em conta a ordem)? 

E.266 Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 7 brancas. Duas bolas são extraídas sucessiva- 
mente ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de: 

a) ambas serem brancas? b) ambas serem vermelhas? 

c) uma vermelha, outra branca (sem levar em conta a ordem)? 

E.267 De um lote de 200 peças sendo 180 boas e 20 defeituosas, 10 peças são selecionadas 
ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de: 

a) as 10 peças serem boas? 

b) as 10 peças serem defeituosas? 

c) 5 peças serem boas e 5 serem defeituosas? 

E.268 Um lote contém 60 lâmpadas sendo 50 boas e 1 0 defeituosas. 5 lâmpadas são escolhidas 
ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de: 

a) todas serem boas? c) 2 serem boas e 3 defeituosas? 

b) todas serem defeituosas? d) pelo menos uma ser defeituosa? 

E.269 Em uma loja existem 100 camisas, sendo 80 da marca A. Se 5 camisas forem escolhidas 
ao acaso, sem reposição, qual a probabilidade de 4 serem da marca A? 


92-E 


E.270 De um baralho de 52 cartas, 5 são extraídas ao acaso, sem reposição. Qual a probabili- 
dade de: 

a* de saírem os 4 reis? c) de sair ao menos um rei? 

* b) de não sair nenhum rei? 

E.271 De um baralho de 52 cartas, duas são extraídas ao acaso e sem reposição. Qual a 
probabilidade de que pelo menos uma seja de copas? 

E.272 De um grupo de 10 pessoas, entre elas Regina, cinco são escolhidas ao acaso e sem 
reposição. Qual a probabilidade de que Regina compareça entre as cinco? 

E.273 De 100.000 declarações de imposto de renda (entre as quais a do Sr. K) que chegam 
a um órgão fiscal, 10.000 são escolhidas ao acaso e analisadas detalhadamente. Qual 
a probabilidade da declaração do Sr. K ser analisada detalhadamente? 

E.274 Entre 100 pessoas, uma única é portadora de uma moléstia. 10 pessoas entre as 100 
são escolhidas ao acaso. Qual a probabilidade da pessoa portadora da moléstia estar 
entre as 10? 


E.275 Um grupo é constituído de 6 homens e 4 mulheres. Três pessoas são selecionadas ao 
acaso, sem reposição; qual a probabilidade de que ao menos duas sejam homens? 


Solução 

Consideremos o espaço amostrai £2 constituído de todas as combinações das 10 
pessoas, tomadas 3 a 3. Logo, 

#£2 = ( 10 | = 120 . 

3 

O evento A que nos interessa é formado por todas as combinações de £2, tais que em 
cada uma existem dois ou três homens. Isto é: 

#A = (®) • (?) + (®) = 80. 

2 1 3 


Logo P (A) = 


80 

120 


L 

3 


E.276 Entre 10 meninas, 4 têm olhos azuis. Três meninas são escolhidas ao acaso, sem 
reposição; qual a probabilidade de pelo menos duas terem olhos azuis? 

E.277 Uma urna contém 4 bolas brancas, 2 vermelhas e 3 azuis. Cinco bolas são selecionadas 
ao acaso, com reposição. Qual a probabilidade de que 2 sejam brancas, uma vermelha 
e 2 azuis ? 


E.278 De um baralho de 52 cartas, 3 são extraídas ao acaso, sem reposição. Qual a probabili- 
dade de que as 3 sejam do mesmo naipe? 

Solução 

Seja o espaço amostrai £2 constituído das combinações das 52 cartas tomadas 3 a 3. 

Então: 52 

#£2 = { ^ ) = 22 100 . 

3 


93- E 



O evento A que nos interessa é formado por todas as combinações de £2, nas quais 
as 3 cartas são do mesmo naipe. Logo, 

#A = 4 • ( 13 ) = 1 144. 

3 


Portanto, P (A) 


1 144 
22 100 


22 

425 


E.279 De um baralho de 52 cartas, duas são selecionadas ao acaso e sem reposição; qual a 
probabilidade de que seus naipes sejam diferentes? 

E.280 De um baralho de 52 cartas, duas são escolhidas ao acaso e sem reposição. Qual a 
probabilidade de observarmos dois reis ou duas cartas de copas ? 

E.281 Um grupo é constituído de 10 pessoas, entre elas Jonas e Cesar. O grupo é disposto ao 
acaso em uma fila. Qual a probabilidade de que haja exatamente 4 pessoas entre Jonas 
e Cesar? 

E.282 Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele só pode 
andar uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita. Se ele andar 10 unidades, 
qual a probabilidade de chegar no ponto P{7, 3)? 


X. PROBABILIDADE CONDICIONAL 

103. Seja £2 um espaço amostrai e consideremos dois eventos A e B. Com o 
símbolo P(AlB) indicamos a probabilidade do evento A, dado que o evento B 
ocorreu, isto é, P(A | B) é a probabilidade condicional do evento A, uma vez 
que B tenha ocorrido. Quando calculamos P(A|B) tudo se passa como se B fosse 
o novo espaço amostrai “reduzido" dentro do qual, queremos calcular a probabili- 
dade de A. 

104. Exemplos 

1?) Consideremos o lançamento de um dado e observação da face de cima. 
£2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 


Sejam os eventos: 

A: ocorre um número ímpar 

B: ocorre um número maior ou igua! a 2. 

B = {2, 3, 4, 5, 6}. 


P ( A l B) será então a probabilidade de ocorrer número ímpar no novo espaço 
amostrai reduzido. 

* B = {2, 3, 4, 5, 6}. 


Atribuindo — para a probabilidade de cada evento elementar de B, o 


evento ocorrer número ímpar no espaço amostrai “reduzido" será {3, 5} e 
portanto 


P{A| B) = — 
5 



2 _ 
5 ' 


2?) Numa cidade, 400 pessoas foram classificadas, segundo sexo e estado 
civil, de acordo com a tabela. 



solteiro 

(S) 

casado 

(C) 

desquitado 

(D) 

viuvo 

(V) 

Masculino (M) 

50 

60 

40 

30 

Feminino ( F ) 

150 

40 

10 

20 


200 

100 

50 

50 


Uma pessoa é escolhida ao acaso. Sejam os eventos: 

S: a pessoa é solteira, 

M: a pessoa é do sexo masculino. 

P (S | M) significa a probabilidade da pessoa ser solteira, no novo espaço 
amostrai reduzido, das 180 pessoas do sexo masculino. Ora, como existem 50 
solteiros nesse novo espaço amostrai: 


P(S | M) 


50 

180 


_5_ 
18 ' 


Sejam ainda os eventos: 

F: a pessoa escolhida é do sexo feminino. 

D: a pessoa escolhida é desquitada, 

então P (F | D) significa a probabilidade da pessoa escolhida ser do sexo feminino, 
no novo espaço amostrai reduzido das 50 pessoas desquitadas. Ora, como existem 


94-E 


95-E 




10 pessoas do sexo feminino nesse novo espaço amostrai, 

P(F|D) = 12 = 1. 

50 5 

Notemos que P(F|D) =# P(DiF) pois um cálculo simples nos mostra que 
P(D|F) = — = -L. 


105. Observação 

Para definirmos formalmente P(A| B), vamos recorrer novamente ao conceito 
de frequência relativa. 

Se um experimento aleatório for repetido N vezes, sejam n A , n B e n A n b 
o número de vezes que ocorrem A, B e A O B, respectivamente. Notemos que 

a freqüência relativa de A, naqueles resultados que B ocorre é ° A n B , isto é, 
„ A n B 

a freqüencia relativa de A condicionada a ocorrência de B. 


n A n b 


n A n b 

N 



onde f A n b e íb representam as freqüências relativas da ocorrência de A (1 B 
e de B respectivamente. Quando N é grande, f A nB é "próxima" de P(A O B) 
e f B é próxima de P(B). Isto sugere então a definição: 


P(AIB) 


P(A n B) 

P w 


P(B) > 0. 


Em resumo, temos dois modos de calcular P (A I B) : 

1?) Considerando que a probabilidade do evento A será calculada em relação 
ao espaço amostrai "reduzido" B. 

2?) Empregando a fórmula: 

P(A | B) = P(A ° B> 

P(B> 


onde tanto P(A n B) como P(B) são calculadas em relação ao espaço 
amostrai original £2. 


96 -E 


106. Exemplo 


Dois dados di e d 2 são lançados. Consideremos o espaço amostrai: 

f — > ^ 

(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1) 

(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2 ) (5, 2) (6, 2) 

J (1, 3) (2. 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3) I 

) (1, 4) <0/4 > <3, 4) (4, 4) <5, 4) (6, 4) 

(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) 

(1, 6) <2, 6) (3, 6) (4, 6) <5, 6) (6, 6) 

L J 


Sejam os eventos: 

A: o dado di apresenta resultado 2, 

B: a soma dos pontos nos dois dados é 6. 

Calculemos P ( A I B) 

1? modo: O novo espaço amostrai reduzido é: 

B - {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}. 

Nesse novo espaço amostrai a probabilidade de A (d j apresentar o resul- 
tado 2) é -1-. Logo 
5 

P(A|B) = -L 

O 


2? modo: 


P (A I B) 


p (A n b) 
P(B) 


Temos: 

A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), <2, 4), (2, 5), (2, 6)} P(A) = ~ = -L 
B = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} P(B) = 

AO B = {(2, 4)} PIAOBI = 4- 


Logo P (A | B) = -y- = 1. 

36 


97-E 





EXERCÍCIOS 


E.283 Um dado é lançado e o número da face de cima é observado. 

a) Se o resultado obtido for par, qual a probabilidade dele ser maior ou igual a 5? 

b) Se o resultado obtido for maior ou igual a 5, qual a probabilidade dele ser par? 

c) Se o resultado obtido for fmpar, qual a probabilidade dele ser menor que 3? 

d) Se o resultado obtido for menor que 3, qual a probabilidade dele ser ímpar? 

E.284 Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100. 
a} Qual a probabilidade do número ser par? 

b) Qual a probabilidade do número ser par, dado que ele é menor que 50? 

c) Qual a probabilidade do número ser divisível por 5, dado que é par ? 

E.285 Dois dados d\ e d 2 são lançados. 

a) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser 6, se a face observada em d l foi 2? 

b) Qual a probabilidade do dado dj apresentar face 2, se a soma dos prantos foi 6? 

c) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser menor que 7, sabendo-se que em 

ao menos um dado apareceu o resultado 2? 

d) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser menor ou igual a 6, se a soma dos 
pontos nos dois dados foi menor ou igual a 4? 

e) Qual a probabilidade do máximo dos números observados ser 5, se a soma dos 
pontos foi menor ou igual a 9? 

E.286 Considere um tetraedro, como um dado, com 4 faces numeradas de 1 a 4. Dois tetra- 
edros tj e t 2 são lançados sobre um plano e observam-se os números das faces nas 
quais se apoiam os tetraedros. Se a soma dos pontos obtidos for maior que 5, qual a 
probabilidade de que o número observado em t* seja: 

a) 4? b) 3? 


E.287 Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos 
de cada moça, segundo a tabela 


olhos 




azuis 

castanhos 


loira 

17 

9 

cabelos 

morena 

4 

14 


ruiva 

3 

3 


a) Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual a 
probabilidade dela ser 

1) loira? 2) morena de olhos azuis? 3) morena ou ter olhos azuis? 

b) Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão completamente 
cobertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de 
que ela seja morena? 


98-E 


E 288 De um baralho de 52 cartas, uma é extraída e observa-se que seu número está entre 
4 e 10 (4 e 10 inclusive). Qual a probabilidade de que o número da carta seja 6? 

E.289 Uma comissão de 3 pessoas é formada escolhendo-se ao acaso entre Antônio, Benedito, 
César, Denise e Elisabete. Se Denise não pertence a comissão, qual a probabilidade 
de César pertencer? 

E.290 Se A e B são eventos, e P(A) >0, prove que 

a) P (A | A) - 1 

b) P(A C | A) = 0 

c) Se A e B são mutuamente exclusivos, P (B | A) = 0 

d) PIA U B | A) = 1 

e) Se A e B são mutuamente exclusivos, P(A|AU B) 


PIA) 

PIA) + PIB) 


XI. TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO 




107. Uma conseqüência importante da definição formal de probabilidade condi- 
cional é a seguinte: 


P(A|B) = 


P(A n B) 


P (A Pi B) = P(B) • P ( A l B ) 


P(BIA) 


p(a n b) 


PIA O B) = P ( A) . P (B | A) 


Isto é, a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos (P(A n 5)) 
é o produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro , dado o 
primeiro. 


108. Exemplo 1 

Uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a urna II contém 
4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela uma 
bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola 
vermelha? 



® ® ® 

® ® 

© 


99-E 






Os dados do problema podem ser colocados num diagrama de árvore. Como 

cada urna é selecionada ao acaso, a probabilidade é — para cada urna I e II 

1 2 
(escrevemos — em cada ramo que parte do ponto inicial para a urna obtida). 


Dada a urna escolhida, escrevemos as probabilidades condicionais de extra- 
irmos da mesma uma bola de determinada cor. Tais probabilidades são colocadas 
nos ramos que partem de cada urna para cada resultado do 2? experimento (extra- 
ção da bola). 


Sejam 


U|, o evento escolher urna I 

V, o evento escolher bola vermelha. 


Estamos interessados no evento Uj D V. Logo, pelo teorema da multipli- 
cação : 


P(u, n v) = P(u,) . p ( v | u i ) 

ora, P(U,) = P(V|U|) = — . 

2 5 

Logo, P(U, n V) = 1 • 2 = 1 . 

2 5 5 

Isto é, a probabilidade da ocorrência simultânea de Uj e V é o produto das 
probabilidades que aparecem nos ramos da árvore onde estão situados I e V. 


100-E 


1 2 = 1 

2 * 5 5 

Analogamente, indicando por Up o evento urna II e por B o evento bola 
branca, teremos: 

P(U, n B) = 1 • | 

P(u„ n v) = 1. | 

P(u„ n b) = 1. | 

109. Exemplo 2 

Um lote contém 50 peças boas (B) e 10 defeituosas (D). Uma peça é 
escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra peça é escolhida ao acaso. 

O diagrama de árvore correspondente é: 


£ 

10 

2 

9 ‘ 
18 




101-E 



XII. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 


HO. Inicialmente, consideremos n eventos B, , B 2 , .... B n . Diremos que eles 
formam uma partição do espaço amostrai Í2, quando 

I) P(B k ) >0 Yk 
li) Bj n Bj = 0 para i i= j 

III) .U Bj = £2 

Isto é, os eventos B lr B 2 , B n são dois a dois mutuamente exclusivos 
e exaustivos (sua união é £2). 

111. Ilustração para n = 11 



Seja £2 um espaço amostrai, A um evento qualquer de £2 e B w B 2/ ..., B n 
uma partição de £2, 

E válida a seguinte relação: 

A = (Bj n a) u (b 2 n A) u (b 3 n a) u ... u <B n n a). 



nesse caso: 


a = [Bj n a) u (b 2 n a) u (b 3 n a) u (b 4 n a) u (b s n a). 

0 ' 0 ^ 

Notemos que (Bj n A); (B 2 Pi A) (B n n A) são dois a dois mutuamente 
exclusivos, portanto 


102-E 


p (A) = p ( b x n A) + P(B 2 n A) + ... + P(B n n A). 


Este resultado é conhecido como teorema da probabilidade total. Ele é 
utilizado quando P (A) é difícil de ser calculada diretamente, porém, simples se 
for usada a relação acima. 

113. Exemplo 1 

Uma urna I tem 2 bolas vermelhas (V) e 3 brancas (B); outra urna II tem 
3 bolas vermelhas e uma branca e a urna III tem 4 bolas vermelhas e 2 brancas. 
Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola. Qual a probabilidade 
da bola ser vermelha? 



Notemos que os eventos, U| (sair urna I), U|j (sair urna II) e Um (sair 
urna III) determinam uma partição de £2. Seja V o evento sair bola vermelha. 
Então pelo teorema da probabilidade total P(V) - P(U| O V) + P(Un n V) + 
+ P( U | , | n V). 


103-E 






Porém pelo teorema da multiplicação: 


P(U, n vi . i . 4 


2 _ 

15 


P(U„ n V) = ±-. 1 . 


_ 1 _ 

4 


P(U„| n V) = 1 • | 


2^ 
9 ‘ 


Segue-se então, que: 


P(V) 


J2_ JL _2 

15 4 + 9 


109 

180 


114. Exemplo 2 (Problema da moeda de Bertrand). 

Existem três caixas idênticas. A 1? contém duas moedas de ouro, a 2? 
contém uma moeda de ouro e outra de prata, e a 3?, duas moedas de prata. 
Uma caixa é selecionada ao acaso e da mesma é escolhida uma moeda ao acaso. 
Se a moeda escolhida é de ouro, qual a probabilidade de que a outra moeda 
da caixa escolhida também seja de ouro? 

o 
o 

p 


p 

É claro que o problema pode ser formulado da seguinte forma: "Se a moeda 
escolhida é de ouro, qual a probabilidade de que ela tenha vindo da caixa I 
(pois a caixa I é a única que contém duas moedas de ouro). 

Sejam os eventos: 

C| : a caixa sorteada é a 1? 

Cu : a caixa sorteada é a 2? 

Cj 1 1 : a caixa sorteada é a 3? 

O : a moeda sorteada é de ouro. 



104-E 


temos: 



EXERCÍCIOS 

E.291 Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 pretas. Outra urna II tem 6 bolas vermelhas 
e 2 pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é escolhida uma bola também ao 
acaso. Qual a probabilidade de observarmos: 

a} urna I e bola vermelha? 

b) urna I e bola preta? 

c) urna II e bola vermelha? 

d) urna II e bola preta? 

E.292 Uma urna tem 8 bolas vermelhas, 3 brancas e 4 pretas. Uma bola é escolhida ao 
acaso e, sem reposição desta, outra é escolhida, também ao acaso. Qual a probabilidade 
de: 

al a 1? bola ser vermelha e a 2? branca? 

b) a 1? bola ser branca e a 2 a . vermelha? 

c) a 1? e a 2? serem vermelhas ? 

E.293 O mês de Outubro tem 31 dias. Numa certa localidade, chove 5 dias, no mês de 
Outubro. Qual a probabilidade de não chover nos dias 1? e 2 de Outubro? 

E. 294 Seja P x a probabilidade que uma pessoa com X anos sobreviva mais um ano e 
nP x a probabilidade de que uma pessoa com x anos sobreviva mais n anos (n inteiro 
positivo) 

a) O que significa P 40 ? 
b} O que significa 2 P 40 ? 
c) Mostre que 2 P 40 “ P 40 * P41* 

E.295 A urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 2 bolas vermelhas e 
6 brancas e a urna III tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Urra urna 
é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola, também ao acaso. Oual a probabi- 
lidade de a bola ser: 

a) vermelha? b) branca? c) amarela? 


105-E 



E.296 Em um lote da fábrica A existem 18 peças boas e 2 defeituosas. Em outro lote 
da fábrica B, existem 24 peças boas e 6 defeituosas, e em outro lote da fábrica C, 
existem 38 peças boas e 2 defeituosas. Um dos 3 lotes é sorteado ao acaso e dele 
é extraída uma peça ao acaso. Qual a probabilidade da peça ser: 

b° a ? b) defeituosa? 

E.297 A urna I tem 2 bolas vermelhas e 3 amarelas e a urna li tem 4 bolas vermelhas 
5 amarelas e 2 brancas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna I e colocada na urna 
U, em seguida uma bola é escolhida da urna II ao acaso. Qual a probabilidade dessa 
segunda bola ser: 

a) vermelha? b) amarela? c) branca? 

E. 298 Sejam A e B dois eventos tais que: P(A O B) = 0,8 e P(A Pl B C ) = 0,1, calcule 
P{ A). 


E.299 Uma urns I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 6 bolas vermelhas 

e 2 brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é escolhida uma bola também 
ao acaso. 

a) Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha? 

b) Qual a probabilidade de observarmos bola vermelha? 

c) Se a bola observada foi vermelha, qual a probabilidade que tenha vindo da 
urna I? 



8 


c) estamos interessados em P(U| I V). Por definição 


P(U, I V) = p L u > n v > 

P(V) _3_ 

usando os resultados dos itens a e b, P(U| I V) - 


j4_ 

11 


56 


E.300 Uma caixa contém 3 moedas Mj, M|| e M|||. A Mj é honesta, a Mj| tem duas 
caras e a M|j| é viciada de tal modo que caras são duas vezes mais prováveis que 
coroas. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada. 

a) Qual a probabilidade de observamos moeda M| e cara? 

b) Qual a probabilidade de observamos cara? 

c) Se o resultado final foi cara, qual a probabilidade de que a moeda lançada tenha 
sido M|. 


106-E 


E.301 Duas máquinas A e B produzem peças idênticas, sendo que a produção da máquina 
A é o triplo da produção da máquina B. A máquina A produz 80% de peças boas 
e a máquina B produz 90%. Uma peça é selecionada ao acaso do estoque e verifica-se 
que é boa. Qual a probabilidade de que tenha sido fabricada pela máquina A? 


E.302 Uma clínica especializada trata de 3 tipos de moléstias; X, Y e Z. 50% dos que 
procuram a clínica são portadores de X, 40% são portadores de Y e 10% de Z. 
As probabilidades de cura, nesta clínica, são: 

moléstia X: 0,8 
moléstia Y: 0,9 
moléstia Z: 0,95. 

Um enfermo saiu curado da clínica. Qual a probabilidade de que ele sofria a 
moléstia Y? 



E.303 No exercício anterior, se o enfermo saiu curado, qual a probabilidade de que ele sofria: 
a) da moléstia X? b) da moléstia Z? 


E.304 Uma certa moléstia A é detectada através de um exame de sangue. Entre as pessoas 
que efetivamente possuem a moléstia A, 80% delas têm a moléstia detectada pelo 
exame de sangue. Entre as pessoas que não possuem a moléstia A, 5% delas têm 
a moléstia detectada (erroneamente) pelo exame de sangue. Numa cidade, 2% das 
pessoas têm a moléstia A. Uma pessoa da cidade foi submetida ao citado exame de 
sangue que a acusou como portadora da moléstia A. Qual a probabilidade dessa 
pessoa estar efetiva mente atacada pela moléstia? 

E.305 Em uma população, o número de homens é igual ao de mulheres. 5% dos homens 
são daltônicos e 0,25% das mulheres são daltônicas. Uma pessoa é selecionada ao 
acaso e verifica-se que é daltônica. Qual a probabilidade de que ela seja mulher? 


107-E 



XIII. INDEPENDÊNCIA DE DOIS EVENTOS 


115. Dados dois eventos A e B de um espaço amostrai £2, diremos que A in- 
depende de B se: 

P(A I B) = P(A) 

isto é, A independe de B se a ocorrência de B não afeta a probabilidade de A. 
Observemos que se A independe de B (P(A) > 0) então B independe de A 

pois: 

P(BlA) = P(A ° B > = P<B) - P(AIB) _ P(B) - P(A) _ 

P(A) P(A) P(A) ~ n 

116. Em resumo, se A independe de B, então B independe de A e além disso; 

P(A n B) = P{A) • PfBlA) = P(A) . P(B) 

P(B) 

Isto sugere a definição: 

Dois eventos A e B são chamados independentes se 
P(A n B) = P(A) • P(B). 

117. Exemplo 1 

Uma moeda é lançada 3 vezes. Sejam os eventos: 

A: ocorrem pelo menos duas caras. 

B: ocorrem resultados iguais nos três lançamentos. 

Temos: 

£2 ={(K, K, K), (K, K, C), (K, C, K), (K, C, C), (C. K, K), (C, K, C), 

(C, C, K), (C, C, C)}. 

A = {(K, K, K), (K, K, C), (K, C, K), (C, K, K)}, P(A) = 1 

B = {(K, K, K), (C, C, C)} , P(B) = 1 = 1 

8 4 ' 

A n B = {<K, K, K)} , P(AOB) =1 

O 


108-E 


Logo P(A n B) = P(A) . P{ B ) 

t t t 

1 J_ J_ 

8 2 4 

Portanto A e B são independentes. 

118. Observação 

a) Se A e B não são independentes eles são chamados dependentes 

b) Prova-se que (ver exercícios) se A e B são independentes, então: 

A e B c são independentes. 

A c e B são independentes. 

A C e B c são independentes. 

119. Exemplo 2 

Duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade da 1? atingir o 

1 2 

alvo é P(A) = — - e a probabilidade da 2? atingir o alvo é P(B) = — . 

3 3 

Admitindo A e B independentes, se os dois atiram, qual a probabilidade de: 

a) ambos atingirem o alvo, 

b) ao menos um atingir o alvo. 

Temos: 

a) P(A O B) = P(A) • P(B) = -1 • 1 = 1 

b) P(A U B) = P(A) + P(B) -P(AnB) = 1 + 1 -1 = 1. 

XIV. INDEPENDÊNCIA DE TRÊS OU MAIS EVENTOS 

120. Consideremos 3 eventos A, B e C do mesmo espaço amostrai £2. Diremos 
que A, B e C são independentes, se 

P(A O B) = P(A) • P(B) 

P(A nC) = P(A) • P(C) 

P(B n C) = P(B) • P(C) 

P(A n B n C) = P(A) • P(B) • P(C). 


109-E 



Generalizando, diremos que n eventos A l( A 2 A n são independentes se: 

P< Aj O A, ) = P(A|) • P(Aj) Vi, j i#j 

P( Aj D Aj n A k ) = P< A; ) . P( Aj ) . P(A k ) V i, j, k, i V j, i # k, j V k 

PfAi n a 2 n ... n aj = piaj . p(a 2 ) . ... . p(aj. 

121. Observação 

Em geral, para mais do que 2 eventos não precisamos verificar todas essas 
condições, pois do ponto de vista prático, nós admitimos a independência 
(baseados nas particularidades do experimento) e usamos esse fato para calcular- 
mos, por exemplo, P(A X O A 2 D ... D AJ como P(AJ * P(AJ • ... . P(AJ. 

122. Exemplo 1 

Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de observamos cara 
nos 10 lançamentos. 

Sejam os eventos: 

Aj: ocorre cara no 1? lançamento 

A 2 : ocorre cara no 2? lançamento 

A 10 : ocorre cara no 10? lançamento. 

Como o resultado de cada lançamento, não é afetado pelos outros, podemos 
admitir A lt A 2 , ..., A 10 como eventos independentes. Portanto 

R( a ! n a 2 n ... n a 10 ) = p(aj • p(a 2 ) . ... . p(a 10 ). 


Como: 


P(Aj) _ P(A 2 ) = ... = P(A 10 ) = (a probabilidade de ocorrer cara 


em qualquer lançamento e — ) 
segue-se que: 

P(A, n Aj ... n a 10 ) = ~ 


10 


— = ( — ) 10 = 
O ' O ' 


1024 


123. Exemplo 2 

Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que a face "2" 
apareça pelo menos uma vez nos 5 lançamentos? 

Sejam os eventos: 

Aj*. ocorre um número diferente de 2 no 1? lançamento 
A 2 : ocorre um número diferente de 2 no 2? lançamento 


A s : ocorre um número diferente de 2 no 5? lançamento. 

Admitindo A lf A 2 , ..., A 5 independentes e tendo em conta que P(Aj) = 
Vi € {1, 2, 3, 4, 5}, segue-se que: 

p(A, n a 2 n ... n a 5 ) = (-|) 5 . 


Então ( — ) 5 é a probabilidade de não observarmos o “2" em nenhum 
o 

lançamento . Ora, aparecer o "2" pelo menos uma vez, é o evento complementar 
do evento não comparecer nenhuma vez. Logo a probabilidade desejada é: 


1 - 


ij*. 

6 


EXERCÍCIOS 

p 

E.306 Se A e B são eventos independentes, prove que e B também o são. Isto e, 
provar que a implicação abaixo é verdadeira: 

P(A n B) = P(A) • PIB) ==> P(A C n B) = P(A C ) - P(B). 

Demonstração 

P(B) = P(A O B) + P(A^ O B) (teorema da probabilidade total) 

Logo: 

P(B) = P(A) • P(B) + P(A C D B) 

P(A C O B) = P(B) - P(A) ■ PIB) 

P(A C Pi B) = P(B) [l - P(A) ] p(A C O B) = P(B) • P(A C ). 

E.307 Prove (usando o exercício 306) que se A- e B são independentes: 

p 

a) A e B são independentes 

C C 

b) A e B são independentes. 


110-E 


111-E 



temos: 


E.308 Prove que, se A e B sao mutuamente exclusivos, P(A) > 0 e P(B) > 0, então A e B 
são dependentes. 

E.3Q9 Numa sala existem 4 homens e' 6 mulheres. Uma mosca entra na sala e pousa numa 
pessoa, ao acaso, 

a) Qual a probabilidade de que ela pouse num homem (P(H ))? 

b) Qual a probabilidade de que ela pouse numa mulher (P(M))? 

c) Os eventos H e M são independentes? 

E.310 De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Sejam os eventos: 

A: a carta é de copas 

B: a carta é um rei 

C: a carta é um rei ou uma dama. 

Quais dos pares de eventos são independentes? 

a) A e B b) A e C c> B e C. 

E.311 As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são, P(A) = 
1 3 

= — e P(B) = — . Qual a probabilidade de que: 

3 5 

a) ambos resolvam o problema? 

b) ao menos um resolva o problema? 

c) nenhum resolva o problema? 

d) A resolva o problema mas B não? 

e) B resolva o problema mas A não? 

E.312 A probabilidade de um oerto homem sobreviver mais 10 anos, a partir de uma 
certa data é 0,4, e de que sua esposa sobreviva mais 10 anos a partir da mesma 
data ê 0,5. Qual a probabilidade de: 

a) ambos sobreviverem mais 10 anos a partir daquela data? 

b) Ao menos um deles sobreviver mais 10 anos, a partir daquela data? 

E.313 A probabilidade de que um aluno A resolva certo problema é P (A) = — , a de que 

,1 Z 

outrp aluno B o resolva é P(B) = — e a de que um terceiro aluno C o resolva é 

1 ^ 

P{C) = — . Qual a probabilidade de que: 

a) os três resolvam o problema? 

b) ao menos um resolva o problema? 

Solução 

Assumindo que A, B e C são eventos independentes, temos 


P(A U B U C) - PIA) + P(B) + P(C) - PIA O B) - P(A Oc) - P(B OCI + P(A O B O C) 
Logo 

PIA U B U C) = PIA) + P(B) + P(C) - PIA) • PIB) - PIA) * PIO - P(B) • PIO + 

+ PIaObOC) 

1 1 1 1 1 1 ^ 1 

P(A U B U C) = ^ + y + T - T - T - ^2 + 24 

P|AUBUCI = ^ = 

E.314 Luís tem probabilidade 4- de convidar Alice para um passeio num domingo. 

4 2 ,1 

A probabilidade de que César a convide é — e a de Olavo é — . Qual a probabili- 
dade de que: 

a) os três a convidem para o passeio? 

b) ao menos um a convide para o passeio? 

c) nenhum a convide para o passeio? 

E.315 Em um circuito elétrico, 3 componentes são ligados em série e trabalham independen- 
temente um do outro. As probabilidades de falharem o 1?, 2? e 3? componentes 
valem respectivamente Pl = 0,1, p 2 = 0,1, e p 3 = 0,2. Qual a probabilidade de 
que não passe corrente pelo circuito? 



E.316 (Problema proposto por Chevaiier De Merè a Pascal ) 

O que é mais provável: 

a) obter pelo menos um "6" jogando um dado 4 vezes ou 

b) obter um par de 6 pelo menos uma vez jogando dois dados simultaneamente 24 
vezes? 

E.317 Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de: 

a) observamos 10 caras? 

b) observamos 10 coroas? 

c) observamos 4 caras e 6 coroas? 


a) PIA n B n C) = PIA) • PIB) • PIO = Y * T ' T = 1Ã' 

b) Queremos calcular P(A U B U C) 


112-E 


113-E 



XV. LEI BINOMIAL DA PROBABILIDADE 


124. Ensaios de Bernoulli 

Consideremos um experimento que consiste em uma seqüência de ensaios 
ou tentativas independentes, isto é, ensaios nos quais a probabilidade de um 
resultado em cada ensaio não depende dos resultados ocorridos nos ensaios 
anteriores , nem dos resultados nos ensaios posteriores. Em cada ensaio, podem 
ocorrer apenas dois resultados, um deles que chamaremos Sucesso (S) e outro 
que chamaremos de Fracasso (F). A probabilidade de ocorrer sucesso em cada 
ensaio é sempre p, e consequentemente, a de fracasso é q = 1 - p. Tal tipo de 
experimento recebe o nome de ensaios de Bernoulli (pois os primeiros estudos 
a esse respeito devem-se a James Bernoulli, Matemático do século XVII). 


125. Exemplos de Ensaios de Bernoulli 


1) Uma moeda é lançada 5 vezes. Cada lançamento é um ensaio, onde dois 
resultados podem ocorrer; cara ou coroa. Chamemos Sucesso o resultado 


cara e Fracasso o resultado coroa. Em cada ensaio, p = 


2 


e q = 


2 ' 


2) Uma urna contém 4 bolas vermelhas e 6 brancas. Uma bola é extraída, 
observada sua cor e reposta na urna; este procedimento é repetido 8 vezes. 
Cada extração é um ensaio, onde dois resultados podem ocorrer: bola vermelha 
ou bola branca. Chamemos Sucesso o resultado bola vermelha e Fracasso 

4 6 

o resultado bola branca. Em cada caso p = — e a = — 

H 10 M 10 ' 


3) Um dado é lançado 100 vezes. Consideremos os dois resultados: sair o 
número "5" ou sair um número diferente de " 5 ". Cada lançamento é um 
ensaio de Bernoulli. Chamemos Sucesso o resultado sair o "5" e Fracasso o resulta- 


do não sair o "5". Em cada ensaio p 



126. Observação 

Os nomes Sucesso e Fracasso não tem aqui o significado que lhes damos 
na linguagem cotidiana. São nomes que servem apenas para designar os dois 
resultados de cada ensaio. Assim, no exemplo 1, poderíamos chamar Sucesso 
o resultado coroa e Fracasso o resultado cara. 

No exemplo 1 , sejam os eventos: 


114-E 


Aj : ocorre cara no 1 ? lançamento, PfAJ = — . 
A 2 : ocorre cara no 2? lançamento, P(A 2 ) = . 


A s : ocorre cara no 5? lançamento, P(A S ) = — . 

Então, o evento A { H A 2 H ... O A s corresponde ao evento sair cara nos 
5 lançamentos , que é 

{ (K, K, K, K, K)} 


Como os 5 eventos são independentes, 


11111 
R(Ai n a 2 n ... n a s ) = 7*2 • 7 ’ 2 ' 2 


32 * 


Se quisermos a probabilidade de obter duas caras e em seguida três coroas, 
então o evento que nos interessa é: 

A t n A 2 H Aj fl aJ n que é ((K, K. C C, 0 } 


Logo, 

P(Al n a 2 n A3 n a£ n a£) = 7 * 7 * 7 * 7 


2 


32 ‘ 


É fácil perceber neste exemplo, que a probabilidade de qualquer quíntupla 
ordenada de caras e coroas é , pois, em qualquer quíntupla ordenada 

(_,_,_,_,_)a probabilidade P{(_, será 

_t_ JL J_ _L _ J_ 

2 * 2*2 2*2 ”32* 

Suponhamos agora, o evento sair exatamente uma cara. Isto é 
{(K, C, C, C, C), (C, K, C, C, C), (C, C, K, C, C), (C, C, C, K, C), (C, C, C, C, K)} 
Portanto a probabilidade deste evento é: 

J_ + JL + _L + J- + J- = A. 

32 32 32 32 32 32 


115-E 



Se quisermos a probabilidade do evento sair exatamente duas caras, teremos 
que calcular o número de quíntuplas ordenadas, onde existem duas caras (K) 
e três coroas (C). Ora, a Análise Combinatória nos ensina que este número 
é o número de permutações de 5 elementos, com dois repetidos (iguais a K) 
e três repetidos (iguais a C), isto é. 


Logo a probabilidade desejada é — 


127. Distribuição Binomial 

Os exemplos anteriores podem ser generalizados, segundo o que se conhece 
por distribuição binomial. 

Consideremos então uma seqüência de n ensaios de Bernoulli. Seja p a 
probabilidade de Sucesso em cada ensaio e q a probabilidade de Fracasso. 

Queremos calcular a probabilidade P da ocorrência de exatamente K 
sucessos , nos n ensaios. É evidente que K E {0, 1,2, ..., n}. 

Sejam os eventos: 

Aj : ocorre Sucesso no i'ésimo ensaio, P(A:) = p. 

c _ r Vi E {1, 2, 3, n} 

Aj : ocorre Fracasso no Tesimo ensaio, P(Ap) = q, 

O evento "ocorrem exatamente K sucessos nos n ensaios" é formado por 
todas as enuplas ordenadas onde existem K Sucessos (S) e n - K Fracassos (F). 
O número de enuplas ordenadas nestas condições é: 


3 K,n-K 


K! (n - K>! 


( P ). 

' K ' 


A probabilidade de cada enupla ordenada de K Sucessos (S) e (n - K) 
Fracassos (F) é dada por: 


P \ q • q 


P K . q"' K 


(n - K) vezes 


Pois, qualquer enupla ordenada deste tipo é a intersecção de K eventos 
do tipo Aj, e (n - K) eventos do tipo Ap, e como esses eventos são independentes, 
a probabilidade da intersecção dos mesmos, é o produto das probabilidades de 


116-E 



129. Exemplo 2 

Numa cidade, 10% das pessoas possuem carro de marca A. Se 30 pessoas 
são selecionadas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de exatamente 
5 pessoas possuírem carro da marca A? 

Em cada escolha de uma pessoa, consideremos os resultados: 


117-E 




Sucesso: a pessoa tem carro marca A. 

Fracasso: a pessoa não tem carro marca A. 

Então: p = 0,1, q = 0,9, n = 30. 

Estamos interessados em P 5 . Temos: 

qn 

P 5 = ( _ ) (0,1 ) 5 • (0,9) 2S s 0,102. 
5 


130. Observação 

0 problema de obter K sucessos em n ensaios de Bernoulli pode ser encarado 
como um problema, cujo espaço amostrai é £2 = {0, 1,2, n} isto é , cada 
elemento de 12 é o número de sucessos em n ensaios de Bernoulli e a distribuição 
de probabilidade é dada por 

p ( n \ n K 

n< = l k ' p ' q 

Tal distribuição é chamada binomial pois cada probabilidade P K , é dada 
pelo termo gera I do Binómio de Newton (p + q) n . 


EXERCÍCIOS 

E.318 Considere uma distribuição binomial com n = 10 e p = 0,4. Calcule: 
a) P 0 : b) P 4 ; c) P 6 ; d) P 8 . 

E.319 Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente duas 
caras? 

E.320 Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que o "4" apareça exatamente 
3 vezes. 

E.321 Um estudante tem probabilidade p = 0,8 de acertar cada problema que tenta 
resolver. Numa prova de 8 problemas, qual a probabilidade de que ele acerte exatamente 
6 . 

E.322 Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira. Supondo 
que as vezes que ela atira, são ensaios independentes, qual a probabilidade dela 
acertar no alvo exatamente 4 vezes, se ela dá 8 tiros? 

E.323 A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0,6. De um 
grupo de 5 homens, com 45 anos qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem 
aos 65 anos? 


E.324 Um exame consta de 20 questões tipo Certo ou Errado. Se o aluno "chutar" todas 
as respostas, qual a probabilidade dele acertar exatamente 10 questões? (Indique 
somente os cálculos). 

E.325 Uma moeda é lançada 2n vezes. Qual a probabilidade de observarmos n caras e n coroas? 


E.326 Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos ao menos uma cara? 
Solução 

Temos: n=6 p = y , q = y. 

Estamos interessados em calcular: Pi + P 2 + p 3 + P 4 + Ps + Pó- 
Ora, como: 

Po + Pi + P2 + P3 + P4 + P5 + Pó = 1 
Pj + P 2 + P 3 + P 4 + P s + P 6 = 1 - p o 
Logo, basta calcularmos Po. 

Temos: 


Po - i 


6 

0 



0 



6 


jL 

64 * 


Logo a probabilidade desejada é 1 - ^ 


63 

64 


E.327 Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de observarmos pelo menos 8 caras? 

3 

E.328 Um time de futebol tem probabilidade p = — de vencer, todas as vezes que joga. 
Se disputar 5 partidas, qual a probabilidade de que vença ao menos uma? 

E.329 Uma moeda é lançada 9 vezes. Qual a probabilidade de observarmos no máximo 3 caras? 


Solução 


1 


Temos: n = 9, p = j - 


2 ‘ 


Estamos interessados em calcular: Po + + + P 3 

Po = < 


9 ) < — )° 
0 2 




1 

512 ' 


Pl = ( 
P 2 = l 
P 3 = ( 


9 ) ( 1 ) l 

12 


9 


( — ) 8 = 

'2 512 


<T> 2 


9 l t-l > 3 

3 2 


<T> 7 

<!> 6 


Logo, Pq + p i + p 2 + p 3 = 


36 

512 

84 

512 

130 

512 


= 0,254. 


então 


118-E 


119-E 



E.330 Em 4 ensaios de Bernoulli, a probabilidade de Sucesso em cada um é p = 0,4. Qual a 
probabilidade de observarmos no mínimo 3 sucessos? 

E.331 Um teste tipo Certo ou Errado consta de 6 questões. Se um aluno "chutar" as respostas 
ao acaso, qual a probabilidade de que ele acerte mais do que 2 testes? 

E.332 Numa cidade, 30% da população é favorável ao candidato A. Se 1 0 eleitores forem 
selecionados ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de que mais da metade 
deles seja favorável ao candidato A? (Indique os cálculos). 

E.333 Um casal planeja ter 5 filhos. Admitindo que sejam igualmente prováveis os resultados: 
filho do sexo masculino e filho do sexo feminino, qual a probabilidade do casal ter: 

a) 5 filhos do sexo masculino? 

b) exatamente 3 filhos do sexo masculino? 

c) no máximo um filho do sexo masculino? 

d) o 5? filho do sexo masculino, dado que os outros 4 são do sexo feminino? 


120-E 


RESPOSTAS 


CAPITULO I 

E.1 40 

E.2 30 

E.3 7 200 

E.4 56 

E.5 600 

E.7 2 20 = 1 048 5 76 formas. 

É.8 26 6 = 308 915 776, sim. 

E.9 243 

E.10 125 
E.1 1 200 
E.1 2 32 
E.1 3 6 6 
E.1 5 a) 8 
b) 510 
E. 17 64 

E. 19 (a + 1) * (b + 1) • (c + 1) * (d + 1) 
E.20 28 
E.21 r" 

E.23 AA, ABAA, ABAB, ABB, BAA, BABA, 
BABB, BB. 

E.24 40 

E.25 (a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), 

(b, d), (c, a), (c, b), (c, d), (d, a) 

(d, b), (d, c). 

E.26 a) 120 b) 5 040 c) 20 d) 132 

E.27 6 840 

E.28 30 

E.30 240 

E.31 60 

E.32 720 

E.34 a> m' b) 

E.35 360 


E.36 72 
E.38 n! 

E.39 504 
E.41 280 
E.42 125 
E.43 3 537 
E.44 18 
E.45 72 
E.46 60 
E.47 16 
E.49 58? 

E.50 13 • 3 13 
E.51 71 = 5 040 

E.53 480 
E.54 10! e 71 
E.55 288 
E.56 8! 

E.57 7! 

E. 59 a) 17 280 
b) 5 760 
E.60 28 800 
E.61 480 
E.62 41- 12! 

E.64 11! 

E.65 3 

E.66 (m - 1 )! m! 

E.69 6 
E.70 {7} 

E.71 {7} 

E.75 a) (2n>! . b) <n!)2. 

2 n • n! 

E.79 a) 15, b) 15, c) 1. 

E.80 {7, 8}; {7, 9}; {7,o}; {8, 9}; {8, 0}; 

{9, 0}. 


121-E 



E81 

1 

E.82 

p = 0 ou p = 1 . 

E.83 

504 

E86 

C$2,4 

E.87 

10 

E.88 

10 

E.89 

848 

E.90 

48 

E92 

( 8 > = 126. 
4 

E.93 

56 

E94 

140 

E95 

bi 

E.96 

112 

E97 

112 

E.99 

a) 1 65, b) 


E.119 (Cp,2) • (C q , 2 ). 

E. 120 28 800 

62 


<„) = 3812256 


E.121 ( 6 ^* ) 

E.123 ( P + 1 ). 

q 

E. 124 495 
E.125 60 

8! 

2 ! 2 ! 

E.127 831 600 minutos ou 577 dias e meio. 
20! 


15 

5 


) c) 5 


E.100 ( 


E.101 { 


I • I 4 I 


<:■ 


350. 


b) 10 c) 15 


E. 102 4 512 
El 03 a) 3 
E104 2 080 
E105 140 
E 106 630 
E.107 10 

E.108 ( 2 2 ° > ' ' 2 > + ’• 

E. 109 a) 28 b) 56 

E.111 a) 4 b) 3. 

E. 112 100. 

E.113 n(n - 3). 

E.114 35 


E.115 ( 3 ) - 9. 

E.116 969 

E-nat^ 8 )- (1 3 0 )- ( 3 ) 


c) 28 


E. 126 


, 15 , E * 128 10 ! 10 ! 

9 El 29 210 

E. 130 10 

E. 132 10 

El 33 40 
E. 134 210 

<a + b)l 


E. 135 


a! b! 


12 

E. 136 { ' ) 

4 

El 37 252 
E138 182 

E.139 52 ’ 


'!> 


E. 140 


{1 3 ! ) 4 
20! 

(5! ) 4 

E.141 2 10 
El 42 280 
E. 143 126 

15! 

E - 144 iüíTe 

E. 145 a} 28 b) 286 c) 1001. 

El 46 126 
E. 147 21 

E.148 1 287 formas. 

E.149 35. 

E.150 6. 


CAPÍTULO II 

E.151 a) x 3 + 9x2b + 27xb 2 + 27b 3 

b) 1 - 5x 2 + lOx 4 - 1 0x 6 + 5x 8 - x 10 

c) x 2 - 4x /xy + 6xy - 4y /xy + y 2 

d) sen 4 # + 4 sen 3 # cos 0 + 6 sen 2 # cos 2 # + 4 sen# cos 3 U + cos 4 # 

e) 243 - 405y + 270y 2 - 90y 3 + 15y 4 - y 5 


E. 152 1 0m 3 + — + 

m m^ 

E. 153 x 7 + 7x 6 a + 21x 5 a 2 + 35x 4 a 3 + 
35x 3 a 4 + 21x 2 a 5 + 7xa 6 + a 7 . 
E154 a = 1 e b = 3. 

E.155 a) 8 b) 11 c) n + 1 . 

E. 156 a) 51 

b) x 50 ; x 49 ■ a; x 48 • a 2 ; x 47 • a 3 . 


E.157 ( 
E. 158 { 

( 


1000 

) x»i • 

99 


100 

X 100. ( 10 ° 

0 

’ 1 

T) 

x 98 . y 2. 

2 



E159 60 

E. 160 30 618 x 4 y 5 . 

E.161 80 
E. 162 28 

E.163 5 005a 12 • x 3 . 
E 164 -455 x 3 a 6 . 


x"y; 


E.166 6 

E.167 ( 2n ) 
n 


E. 168 280 
E.169 153 


E.170 não. 

E.171 2n(n - 1) 

E.172 17 

E. 1 74 a ) 1,02 b) 0,94. 

E.176 a) 5 10 b) 6 8 

El 77 7 4 

E 178 a) 0 b) 16 

El 79 5. 

E.180 24 

El 81 a) F b) V c) V d) V e) V f) V 

E. 183 16 

E184 a) 1024 b) 1023 c) 1013 

E. 185 10 
E. 186 2 n - 1 
E.188 2 n - 1 
E. 189 2 

E 198 "In + U ^n + 1) 

6 

E.202 5 

E203 x = 1 ou x = 5. 

E204 p = 5. 

19 15 15 

E205 a) ( ¥ ) b) ( ) e ( Q ° ) 

b / o 

E.206 252 x 2 V 10 • n/x. 

E.207 12 e 12. 

E.208 210 
E.210 243 


CAPITULO III 

E.211 Í2 = {P, R, O, B, A. I, L, D, El 
E.212 Í2= {V, B, A} 

E.213 Í2 = {l, 2, 3, .... 49, 50} 

E.214 S7 = {2 e , 2 C , 2 p , 2 0 8 e , 8 C , 8 p , 8 0 A e , A c , A p , A 0 } 

onde os índices e, c, p, o indicam respectiva mente espadas, copas, paus e ouros 

E.215 = {(V, V), (V, B), (B, V), (B, B)} 

E.216 Í2 = {(A, B, C). IA, C, B), (B, A, C), IB, C, A)„ (C, A, B) (C, B, A)} 

E.217 Í2 = {(MMMI, (MMF), (MFM), (MFF), (FMM), (FMF), IFFM), (FFF)} 
onde M indica o sexo masculino e F, feminino. 

E.219 Í2 = {{A, b}, {A, C}, {A, D), {A, E}, {b, c}. {B, d}, {a. E}, {C, D}, {C, E}, {D. é}] 
E.220 S2 = {l , 2, 3, 364, 365}. 

E. 221 a) {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30} 

b) {l, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29} 

c) (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. 23, 29} 

d) {l 7, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30} 

e) {10.20,30} 


122-E 


1 


123-E 



f ) {3, 6, a, 9, 1 2, 1 5, 1 6, 1 8, 21 , 24, 27, 30} 

g) Í2 - {6, 12, 18, 24, 30} 

E.222 a) {(3, 1), (3, 2). (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} 

bl {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 

cl {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2,4), (2, 5), (2,6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)} 

d) {(1.6), (2, 5), <3. 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1 )} 

e) {( 1 , 1 ), (1, 2), (2, 1), (1,3), (2, 2), (3,1), (1.4), (2, 3). (3, 2), (4, 1 ), (1,5), (2,4), 
(3, 3), (4, 2), (5, 1)} 

E.223 a) { ( K, 1), (K, 2), (K, 3), (K, 4), (K, 5), (K, 6)} 

b) { (K, 2), (K, 4), (K, 6), (C, 2), (C, 4), (C, 6)} 

c) {(K, 3), (C, 3)} 

d) {(K, 1), (K, 2), (K, 3), (K, 4), (K, 5), <K, 6), (C, 2), (C, 4), (C, 6)} 

e) 0. B e C são mutuamente exclusivos. 

f) {(K, 3)} 

g) { (C, 1 ), (C, 2), (C, 3), (C, 4), (C, 5), (C, 6) } 

h) { (K, 1), (K. 2), (K, 4), <K, 5), (K, 6), (C, 1), (C, 2), (C, 4), (C, 5), (C, 6)} 

E.224 a) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 

b) {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3)} 

c) {(1,1)} 

d) {(1, 1), (2, 4)} 

e) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1,4), (1, 5)} 

f) { (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3)} 

E.225 a) { (1, V), (I, B) } 

b) {(II, V), (II, B) } 

c) {(I, V), (II, V)} 

d) {(I, B), (II, B)} 

e) Í7 

f) {(I. V)} 

g) {(I, V), (II, V)} 

E.226a) ^ = { (S, S, S)', (S, S, N), (S, N, S), (S, N, N), (N, S, S), (N, S, N), (N, N, S). 
(N, N, N)} 

onde S representa respostas sim e N, resposta não. 
b) A = { (S, S, N), (S, N, S), (S, N, N), (N, S, S), (N. S, N), (N, N, S), (N, N, N) } 

E.227 a) Pi = P 2 = P 3 = 0,3 

b) 0,6 c) 0,4 d) 0,4 e) 0,7 ; 0,3 f) 0,3; 0,7 

E.228 A distribuição é correta. 

E.229 a) ~ b)|. 


E.231 a) £ b) | 



124-E 




E.260 

_5_ 

18 




C 9R1 

30 • 240 




E.ZO 1 

10 5 




E.262 a) 

25 

64 

b) 

9 

64 


E.263 a) 

J_ 

4 

b) 

49 

100 


E.264 

11 

850 




EL265 a) 

1 

221 

b) 

8 

663 


E.266 a) 

22 

b) 

_5 

33 



180 


/ 

20 


( 10 1 


1 

10 > 

t. íD / d ) 

200 


b) 

200 


( 10 1 


\ 

10 


í 50 ) 


( 

10 ) 

C OCO a) . 

5 


i_ 1 

5 ' 

C. ZOO d/ 

I 60 ) 


D) — 
1 

e° 


' 5 ’ 


\ 

5 1 


,80 

20 



c OCO 

' 4 ’ ' 

± ] 



h. zba 

100 





' 5 ’ 


( 

48 

c oon o \ 

48 


\ 

u \ _ 

5 ’ 

t.z/u a/ 

( 52 J 


Dj 

/ 

52 




\ 

5 ' 

E.271 

1_5 

34 





( 9 ) 




E.272 

4 

í 10 ) 





( 5 1 




E.273 

1 

10 




E.274 

JL 

10 




E.276 

i 

3 





E.277 -y- 


180 ,.( 20 , 

5 5 




50 


d) 1 - 



126-E 



E.294 a) probabilidade de uma pessoa de 40 anos sobreviver mais um ano. 
b) probabilidade de uma pessoa de 40 anos sobreviver mais 2 anos. 


E.295 a) 

11 

28 

«a 

c) 

1 

10 

E.296 a) 

53 

60 




E.297 a) 

11 

30 


c) 

1 

6 

£.298 

0,9 




E.300 a) 

1 

6 


c) 

3 

13 

E.301 

_8_ 

11 





127-E 




128-E 


TESTES 


ANÁLISE COMBINATÓRIA 

TE.1 (PUC -70) Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes 
e o encosto 5 posições, independente da posição do assento. Combinando assento e 
encosto, este banco assume: 

a) 6 posições diferentes b) 30 posições diferentes 

c) 90 posições diferentes d) 180 posições diferentes 

e) 720 posições diferentes 

TE.2 (CESCEA-73) Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 7 cores diferentes, 
podendo o comprador optar entre os motores 2 000 cc e 4 000 cc. Sabendo-se que 
os automóveis são fabricados nas versões "standard", "luxo" e ‘ super-luxo , quantas 
são as alternativas para o comprador? 

a) 14 b) 21 c) 42 d) 12 

TE. 3 (GV-71) O sistema telefônico de São Paulo utiliza sete (7) dígitos para designar 
os diversos telefones. Supondo que o primeiro dígito seja sempre dois (2) e que o 
dígito zero (0) nao seja utilizado para designar as estações (2? e 3? dígitos), quantos 
números de telefones diferentes poderemos ter: 

a) 80 000 b) 800 000 c) 810 000 d) 900 000 
e) nenhuma das anteriores, 

TE. 4 (GV-72) Existem apenas dois modos 
de se atingir uma cidade x partindo de 
uma outra A. Uma delas é ir até uma 
cidade intermediária B e de lá atingir 
x, e a outra é ir até C e de lá chegar a x. 

(Veja esquema ao lado). Existem 10 
estradas ligando A e B; 12 ligando B à A 
x; 5 ligando A à C; 8 ligando C à x; 
nenhuma ligação entre Be Ce nenhuma 
ligação direta entre A e x. O número de 
percursos diferentes que se pode fazer 
para partindo de A atingir x pela pri- 
meira vez é: 

a) 35 b) 4 800 c) 300 d) 4 

TE. 5 Existem 4 estradas que unem as cidades A e B e 5 estradas que unem as cidades B e C. 
Há também 2 estradas que unem A a C, não passando por B. Usando estas estradas, 
o número de viagens possíveis, partindo de A, passando por C e voltando para A é 

a ) 22 b) 44 c) 484 d) nenhuma das anteriores. 



129-E 



TE. 6 (CESGRANR 10-77) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de 
cores diferentes. Para que ele se possa apresentar em 24 sessões com conjuntos 
diferentes, o número mínimo de peças (número de paletós mais número de calças) 
de que ele precisa é: 

a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8 

TE. 7 (CESGRANR 10-76) Em um computador digital um "bit" é um dos algarismos 0 ou 
1 e uma "palavra" é uma sucessão de "bits". O número de "palavras" distintas, 
de 32 "bits", é 

a) 2 (2 32 - 1) b> 2 32 c) 

TE. 8 (FE 1-67) Caminhando sempre para a 
direita ou para cima, sobre a rede da 
figura, de quantas maneiras se pode ir 
do ponto A até a reta BC? 

a) 8 b) 64 

c) 256 d) 1 024 

e) nenhuma das anteriores. 

TE. 9 (MACK-74) Os ingleses têm o costume de dar alguns nomes para as crianças. 
0 número de maneiras diferentes de chamar-se uma criança, se existem 300 nomes 
diferentes e se uma criança não pode ter mais do que 3 nomes, todos diferentes 
entre si, é: 

a) 10 6 b) 30 O 2 c) 300 3 d) 26 820 600 e) 6 744 700 

TE. 10 (GV-71) Uma loteria (semelhante à loteria esportiva), apresenta 10 jogos, cada um 
com 4 possíveis resultados. Usando a aproximação 2 10 = 10 3 , então o número total 
de resultados possíveis será: 

a) menos que 100 000 b) entre 100 000 e 1 000 000 

c) entre 1 000 000 e 10 000 000 d) entre 10 000 000 e 100 000 000 

e) nenhuma das anteriores. 


d) 32 2 e) 2 x 32 



TE. 11 (GV-76) As peças de um jogo de dominó são pequenos retângulos de madeira, 
divididos em duas metades. Em cada metade está marcado um certo número de pontos. 
As peças são feitas de forma que os totais de pontos que aparecem em cada uma das 
metades são perfeitamente permutáveis girando-se a peça de meia volta. Por exemplo, 
a peça (2,5) e também a peça (5,2). Se em cada metade podem aparecer desde 
nenhum ponto até n pontos, então o número de peças diferentes é: 


n(n + 1 ) 


n(n - 1) 


c) (n + 1 )! 


(n + 1)! 


(n +2) (n + 1) 
2 


TE. 12 (USP-69) Uma bandeira é formada de 7 listras que devem ser pintadas de 3 cores 
diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pintá-la de modo que duas 
listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor? 

a) 128 b) 192 c) 35 d» 2 187 e) 210 


130-E 


TE.13 HJA-72) Sejam A um conjunto finito com m elementos e l n = {l,2 n}. O número 

de todas as funções definidas em l n com valores em A é: 

a) Cm b) m ■ n c) n m d) m n 

e) nenhuma das respostas anteriores. 

TE. 14 (MACK-77) Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes 
nacionalidades, sendo um único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, 
dos quais somente um foi fabricado no Brasil. Sabendo-se que obrigatoriamente ela 
deve inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou um carro brasileiros, o 
número de inscrições diferentes que ela pode fazer para uma corrida onde irá participar 
com 3 carros, é: 

a) 15 b) 30 c) 45 d) 90 e) não sei 

TE. 15 (GV-74) Uma moto tem combustível suficiente para somente três voltas num circuito. 
Pedro, Manoel e Antônio disputam, através de lançamento de uma moeda, a oportunida- 
de de dar cada volta, do seguinte modo: 

(I) o lançamento da moeda é efetuado antes de cada volta; 

(II) se coroa, a vez é de Manoel; 

(III) se cara, a vez é de Pedro; 

(IV) se a mesma face ocorrer consecutivamente, a vez é de Antônio. 

Pode-se dizer, então, que Antônio dará: 

a) pelo menos uma volta 

b) no máximo uma volta 

c) pelo menos uma volta, se a primeira for dada por Manoel 

d) no máximo duas voltas, se a primeira for dada por Pedro 

e) nenhuma das respostas anteriores. 

TE. 16 lCESCEA-73) Suponha que no início de um jogo você tenha Cr$ 2,00 e que só 
possa jogar enquanto tiver dinheiro. Supondo que em cada jogada você perde ou 
ganha Cr$ 1,00, ao final de três jogadas os possíveis resultados são: 

a) Cr$ 2,00, Cr$ 3,00 ou Cr$ 5,00 

b) Cr$ 1,00, Cr$ 3,00 ou Cr$ 4,00 

c) Cr$ 0,00, Cr$ 2,00 ou Cr $ 4,00 

d) Cr$ 1,00, Cr$ 3,00 ou Cr$5,00 

TE. 17 (GV-75) Um homem tem oportunidade de jogar no máximo 5 vezes na roleta. 
Em cada jogada ele ganha ou perde um cruzeiro. Começará com um cruzeiro e 
parará de jotpr antes de cinco vezes, se perder todo seu dinheiro ou se ganhar três 
cruzeiros, isto é, se tiver quatro cruzeiros. O número de maneiras em que o jogo 
poderá se desenrolar é: 

a) 5 b) 3 c) 11 d) 12 e) 10 

TE. 18 (MACK-69) Num concurso com 12 participantes, se nenhum puder ganhar mais 

que um prêmio, um primeiro e um segundo prêmios poderão ser distribuídos de 

a) 144 maneiras distintas b) 121 maneiras distintas 

c) 132 maneiras distintas d) 242 maneiras distintas 

e) nenhuma das respostas acima é correta. 


131-E 



TE. 19 (MACK-74) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. 0 número de modos distintos 
das pessoas ocuparem as cadeiras é: 

a) 1 680 b) 8! c) 8 • 4! d) e> 32 

4 

TE. 20 (GV-74) Existem 7 voluntários para exercerem 4 funções distintas. Qualquer um 
deles está habilitado para exercer qualquer dessas funções. Portanto, pode-se escolher 
quaisquer 4 dentre os 7 voluntários e atribuir a cada um deles uma das 4 funções. 
Quantas possibilidades existem para essa atribuição? 

a) 20 b) 360 c> 625 d) 840 e) 5 040 

TE. 21 (CESCEM-77) As placas dos automóveis são formadas por duas letras seguidas de 
4 algarismos. O número de placas que podem ser formadas com as letras A e B e os 
algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo, é 

a) 4 ■ Cs-4 b) 4 • As- 4 c) 2 • C5.4 d) 2 • A5.4 e) 2 • P4 

TE. 22 (CESCEA-74) De quantas maneiras um técnico de futebol pode formar um quadro 
de 11 jogadores escolhidos de 22, dos quais 3 são goleiros e onde só o goleiro tem 
posição fixa? 

a) 3 «Cig io b) A 2 2 ,u c) C22, 11 d) 3 • Ai 9 ÍO e) 3 "C 2i,io 

TE. 23 (COMSART-73) De quantas maneiras três casais podem ocupar 6 cadeiras, dispostas 
em fila, de tal forma que as duas das extremidades sejam ocupadas por homens? 

a) A 3 2 • P 4 b) A 10í3 + Aj 5^2 c) 2 • A 3 2 • P 4 d) 3 * A 3/2 • P 4 

e) nenhuma das respostas anteriores. 

TE.24 (ITA-77) Consideremos m elementos distintos. Destaquemos k dentre eles. Quantos 
arranjos simples daqueles m elementos tomados n a n (A m n ) podemos formar, 
de modo que em cada arranjo haja sempre, contíguos e em qualquer ordem de 
colocação, r (r < n) dos k elementos destacados? 

a) (n - r - 1 J A|^ r A m - k, n - r b) (n - r + 1 ) Aj^ r A m _ r n _ k 

c) (n - r - 1 } A|< r A m _r,n-k d) (n - r + 1 ) A^ r Am - k, n - r 

e) nenhuma das respostas anteriores. 

TE. 25 (CESCEA-67) No jogo de loto, de uma urna contendo 90 pedras numeradas de 
1 a 90, quatro pedras são retiradas sucessiva mente; o número de extrações possíveis 
tal que a terceira pedra seja 80 será: 

a) A904 b) P 4 c) Pgo d) Ag9 3 e) C$93 

TE. 26 (CESCEA-76) O total de números múltiplos de 4, com quatro algarismos distintos, 
que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, é: 

a) 24 b) 48 c) 54 d) 96 e) 120 

TE. 27 (CESCEA-77) Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetição, podem 
ser formados com os dígitos 1 , 2, 3, 4, 5 e 6? 

a) 120 b) 60 c) 30 d) 180 e) 90 


TE. 28 (MACK-75) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 e sem repetição, pode-se escrever x 
numeros maiores que 2 500. O valor de x é: 

a) 78 b) 120 c) 162 d) 198 e) 240 

TE. 29 (CESCEM-76) Com os algarismos 0, 1, 2, 5 e 6, sem os repetir, quantos números 
compreendidos entre 1 00 e 1 000 poderemos formar? 

a) 10 b) 24 c) 48 d) 60 e) 120 

TE. 30 (ITA-76) No sistema decimal, quantos números de cinco algarismos (sem repetição) 
podemos escrever, de modo que os algarismos 0 (zero), 2 (dois) e 4 (quatro) apareçam 
agrupados? 

Obs.: Considerar somente números de 5 algarismos em que o primeiro algarismo 
é diferente de zero. 

a) 2 4 • 3 2 • 5 b) 2 5 - 3 • 7 

c) 2 4 • 3 J d) 2 5 • 3 2 

e) nenhuma das respostas anteriores. 

TE. 31 (MACK-74) A quantidade de números de 3 algarismos que tem pelo menos 2 algarismos 
repetidos é: 

a) 38 b) 252 c) 300 d) 414 e) 454 

Tc. 32 (CESCEM-76) O número de funções injetoras definidas em A = {l; 2; 3} com valores 
em B = {0; 1; 2; 3; 4} é: 

a) 10 b) 15 c) 60 d) 125 e) 243 

TE. 33 (FEI-71) O número de anagramas formadas com as letras da palavra república: nas 
quais as vogais se mantém nas respectivas posições é: 

a) 5! b) 5! 4! c) 91 d) 0! e) 4! 

TE. 34 (GV-74) Uma palavra é formada por N vogais e N consoantes. De quantos modos 
distintos pode-se permutar as letras desta palavra, de modo que não apareçam 
juntas duas vogais ou duas consoantes? 

a) ÍN!) 2 b) (N!) 2 * 2 c) (2N)! d) (2N)! • 2 
e) nenhuma das respostas anteriores 

TE. 35 (PUC-77) Designando-se por A, B, C, D, E e F, seis cidades, o número de maneiras 
que permitem a ida de A até F, passando por todas as demais cidades é: 

a) 18 b) 22 c) 26 d) 24 e) 20 

TE. 36 (ITA-71 ) Dispomos de seis cores diferentes. 

Cada face de um cubo será pintada com uma cor diferente, de forma que as seis 
cores sejam utilizadas. De quantas maneiras diferentes isto pode ser feito, se uma 
maneira é considerada idêntica a outra, desde que possa ser obtida a partir desta por 
rotação do cubo? 

a) 30 b) 12 c) 36 d) 18 

e) nenhuma das respostas anteriores 


132-E 


133-E 



d) n = 13 


e) n = 14 


TE.37 (PUC-74) Se (n - 6) ! = 720, então: 

a) n = 12 b) n = 11 c) n = 10 

TE.38 (CESCEA-75) Se A ? ~ *' 3 = , então, n é igual a: 

rt n, 3 4 

a) 11 b) 13 c) 4 d) 5 e) 12 

<K!) 3 

TE.39 (GV-73) A expressão j- ((< é '9 ual a: 

a) K 3 b) K 3 (K - 1 )! c) {(K - 1 ) ! } 2 d)(K!) 2 e) K 3 { (K - 1 )!> 2 

TE. 40 (PUC-73) Simplificando-se j ” ~ ^ obtém-se: 

a) (n - r) (n - r + 1 ) b) (n-r)(n-1) c) (n - r) {n + r - 1 > d) (n - r) (n - r) 

e) (n + r) (n - r + 1 ) 

TE.41 (CESCEA-69) Se m é um número inteiro não negativo, o valor da expressão 

[(m + 2)1 - (m + 1 ) ! ] ml é: 

a) m! b) (m!) 2 c) 1 d) (m + D! e) [<m + 1)l] 2 

TE.42 (GV-75) Sabendo-se que m • m! = (m + 1 ) ! - m! , pode-se concluir que 
1 • 1 ! + 2 • 2! + . . . + m • m! é igual a: 

a) (m + D! b) (m + 1)!-1 c) (2m)!-mi d) (m-U! e) m! + 1 

TE.43 (GV-73) Uma das afirmações abaixo é falsa. Assinale-a: 

Obs.: Considere n natural en>1 

a) n! - (n - 1 )! = (n - 1 )! - (n - 1 ) 

b) 2{n!) - (n - 1 )! • (n - 1 ) = (n-1)! - n! 

c) (n!) 2 = l(n + D! - n! ] • (n-1)! 

d) (2n + 1)! = (2n - 1)! (4n 2 + 2n) 

> J 1_ = n 

6 n! (n + 1 ) ! (n + 1 )! 

TE.44 (GV-74) n 2 • (n - 2)! (1 - — ) vale, para n > 2. 

n 

a) nl b) (n + D! c) (n - 1)1 d) (n + IIMn-11! 

e) nenhuma das respostas anteriores 

TE.45 (MACK-74) Resolve-se 100 vezes a equação 1 ! + 2! + 3! + . . . + n! = y 2 no conjunto dos 
números inteiros, atribuindo valores de 1 a 100 a n. As soluções inteiras em y 
encontram-se no intervalo: 

a) [-8, 0] b) [-4, l] c) [-2, 6] d) [-3, õ] e) [-5, -l] 

TE.46 (MACK-74) 41 0 = a x * 1 ! + a 2 * 2! + a 3 • 3! + . . . + a n • n! onde 3[< é um número 
natural menor ou igual a k, O valor de a 4 é: 

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 


134-E 


TE. 47 (MACK-76) Os números 

(2+100!), (3 + 1001), (4 + 100!), (100+ 100!) 

a) são todos divisíveis por 100 

b) são todos ímpares 

c) são todos inteiros consecutivos não primos 

d) formam uma progressão aritmética de razão 100! 

e) nenhuma das alternativas anteriores é correta. 

Ap-3 

TE.48 (CESCEM-77) O valor de p na equação — =12 e: 

L p; 4 

a) 12 b) 9 c) 8 d) 6 e) 5 

{ P = 7R 

A n - P tem-se: 

A n ,p= 156 

a) n = 13 p = 2 b) n = 2 p = 12 cl n=3 p = 10 d) n = 2 p=13 

e) nenhuma das anteriores 


TE. 50 (PUC-69) Se A m<5 - 180C mí3 então m é igual a: 

a) 10 b) 12 c) 9 d) 10 e) nada disso. 

TE. 51 (COMSART-73) 0 número m de objetos de uma coleção que satisfaz à igualdade: 

A m, 3 ” C m , 3 = 25C mf m - i 
é dado por: 

a} 7 b) -4 c) 8 d) 6 

e) nenhuma das respostas anteriores 

TE. 52 (EESCUSP-67) Seja A n< p = número de arranjos de n elementos pap; seja C n> p = 
= número de combinações de n elementos pap Então a fórmula: 

A n + i ,4 = 20 • C n ,2 é verdadeira para: 

a) n = 5 b) n = 7 c) n = 4 d) n = 36 e) n = 17 

TE. 53 (CESCEA-71) Seja a, a >6, a solução da equação A n + 2,7 = 10080C n + 1,7- Então» 
sendo f(x) = x 2 - 3x + 1 , f(a) vale: 

a) 109 b) 72 c) 181 d) 190 e) não sei. 


TE. 54 (CESCEM-77) Um conjunto A possui n elementos, sendo n >4. O número de 
subconjuntos de A com 4 elementos é: 


a) 24(n - 4) ! 


c) (n - 4) ! 


TE. 55 (MACK-73) O conjunto A tem 45 subconjuntos de 2 elementos. O número de 
elementos de A é: 

a) 10 b) 15 c) 45 d) 90 

e) impossível de determinar com a informação dada 


135-E 



TE. 56 (CESCEM-75) O sr. Moreira, dirigindo-se ao trabalho, vai encontrando seus amigos e 
levando-os juntos no seu carro. Ao todo, leva 5 amigos, dos quais apenas 3 são 
conhecidos entre si. Feitas as apresentações, os que não se conheciam apertam-se as 
mãos dois a dois. O número total de apertos de mão é: 

a) C5 2-C3 2 b) A5 2-A3 2 c) Ps - P3 d) C5 3 e) C3.2 

TE.57 (CESCEA-72) Dez clubes de futebol disputam um campeonato em dois turnos. No 
final, dois clubes empatam na primeira colocação, havendo mais um jogo de desempate. 
Quantos jogos foram disputados? 

a) 101 b) 91 c) 90 d) 46 e} não sei. 

TE. 58 (COMSART-73) Considerem-se as combinações de p elementos tomados m a m. 
A razão entre o número de combinações em que figura um certo elemento e o número 
de combinações em que esse elemento não figura, é dada por: 

b)-H_ d)-ÜL_ 

m m-p p p-m 

e) nenhuma das respostas anteriores. 

TE. 59 (EAESP-GV-77) 0 número de combinações de 8 elementos, 3 a 3, que contém um 
determinado elemento é: 

a) 21 b) 42 c) 56 d) 7 e) 27 

TE.60 (EESCUSP-69) O número de combinações de n elementos p a p, que contêm K 
elementos determinados é: 

a) b) C" c) c" K d) c"' K e) c" 

p-K. K. p - K p K. - p 

TE. 61 (GV-75) Numa assembléia estão presentes 8 deputados do MDB e 3 da ARENA. 
Sabendo que o presidente da assembléia é do MDB e não participa de comissões, 
pergunta-se: quantas comissões de 5 elementos ele poderá formar de modo que pelo 
menos um elemento seja da ARENA? 

a) 231 b) 441 c) 321 d) 123 e) 132 

TE.62 (GV-74) Deve ser formada uma comissão constituída de 3 estatísticos e 3 economistas, 
escolhidos entre 7 estatísticos e 6 economistas. De quantas maneiras diferentes poderão 
ser formadas essas comissões? 

a) 700 b) 25 200 c) 330 d) 650 e} 720 

TE.63 (GV-71 ) Em um congresso há 30 professores de Matemática e 12 de Física. Quantas 
comissões poderíamos organizar compostas de 3 professores de Matemática e 2 
de Física? 

a) 5 359 200 b) 60 c) 267 960 d) 129 600 e) 4 060 

TE.64 (GV-76) Quer-se criar uma comissão constituída de um presidente e mais 3 membros. 
Sabendo-se que as escolhas devem ser feitas dentre um grupo de 8 pessoas, quantas 
comissões diferentes podem ser formadas com essa estrutura? 
a) 35 b) 280 c) 70 d) 48 e) 24 


TE.65 (CESCEA-69) Uma organização dispõe de 10 economistas e 6 administradores. Quantas 
comissões de 6 pessoas podem ser formadas de modo que cada comissão tenha no 
mínimo 3 administradores? 

a) 2 400 b) 675 c) 3 1 36 d) 60 e) 3 631 


TE. 66 (CESCEM-77) Quatro pontos distintos e não coplanares determinam exatamente 
a) 1 plano b) 2 planos c) 3 planos d) 4 planos e) 5 planos 


TE.67 (CESCEM-70) n pontos distintos do plano determinam, no máximo. 


a) — triângulos 


b) — triângulos 


c) - triângulos 


d) 


n! 

(n-3)! 


triângulos 


n! 


3!{n - 3)! 


triângulos 


TE.68 (GV-72) Há 12 pontos A, B, C, . . . dados num plano 0í, sendo que 3 desses pontos 
nunca pertencem a uma mesma reta. O número de triângulos que contem o ponto 
A, como um dos vértices, que podemos formar com os 1 2 pontos é: 

a) 165 b) 220 c} 55 d) 66 

e) nenhuma das alternativas 


TE.69 (GV-75) Um professor conta exatamente 3 piadas no seu curso anual. Ele tem por 
norma nunca contar num ano as mesmas 3 piadas que ele contou em qualquer outro 
ano. Qual é o mínimo número de piadas diferentes que ele pode contar em 35 
anos? 

a) 5 b) 12 c) 7 d) 32 e) 21 


TE. 70 (GV-73) Sobre uma mesa são colocadas em linha 6 moedas. O número total de 
modos possíveis pelos quais podemos obter 2 caras e 4 coroas voltadas para cima é. 

a) 360 b) 48 c) 30 d) 120 e) 1 5 


TE. 71 (GV-70) O número de maneiras que podemos atribuir os nomes de Paulo, Antônio 
e José a 11 meninos, com a condição de que 3 deles se chamem Paulo, 2 Antônio 
e 6 José é: 


a) 31 2! 6! 11! 
d) 4620 


b) 

e) 


3! 2! 6! 
11 ! 




nenhuma das respostas anteriores. 


11 

6 


) 


TE.72 (GV-74) 10 alunos devem ser distribuídos em 2 classes, de 7 e 3 lugares respecti- 
vamente. De quantas maneiras distintas pode ser feita a distribuição? 

a ) 720 b) 14400 c) 120 d) 86400 

e) nenhuma das respostas anteriores. 


TE. 73 (MACK-74) Separam-se os números inteiros de 1 a 10 em dois conjuntos de 5 
elementos, de modo que 1 e 8 não estejam no mesmo conjunto. Isso pode ser feito 
de n modos distintos. O valor de n é: 

a) 20 b) 35 c) 70 d) 140 e) 200 


136-E 


137-E 



TE.74 (ITA-751 O número de soluções inteiras e não negativas da equação: 


x+y+z+t=7 é: 

a) (\) b) (' 

4 


w 10. 
c) ( 3 ) 


e) nenhuma das respostas anteriores. 


BINÔMIO DE NEWTON 


TE.75 (CESCEM-72) Assinale a resposta certa 

a) (x + 1 ) 100 = x" + x 98 + ... + x 2 + x + 1 

b) (x + 1) 5 = x 5 + 5x« + 10x3 + 10x 2 + 5x + 1 

c) (x 2 - 1 ) 4 = x 8 - 1 

d) (x 3 - 1 ){x - 1 ) é divisível por (x + 1 ) 

e) <x 3 - 1 ){x u - 1) = (x 33 - 1} 


TE. 76 (CESCEA-67) O valor numérico do polinómio: 

x 4 _ 4x 3 y + 6x 2 y 2 - 4xy 3 + y 4 

1 + /6 - 1 , . 


. 1 + \Í6 

quando: x - — 4 e y 

v/5 


é igual a: 


2-/6 


TE. 77 (GV-75) A expressão 99 s + 5(99) 4 + 10(99) 3 + 10Í99) 2 + 5(99) + 1 é igual a: 
a) 99 6 b) 10 9 c) 99 10 d) IO 10 e) 99 9 


TE. 78 (CESCEA-75) Sabendo que 

a s + ( ^ )a 4 b + ( 2 )a 3 b 2 + ( ® )a 2 b 3 + ( ® )ab 4 + b 3 = 1.024 

pode-se dizer que (a + b) 2 é igual a: 

a) 144 b) 4 c) 36 d) 64 e) 16 

TE.79 (FE 1-67) Sendo S =( ) + ( ^ ) 2 +( ) 2 2 + ... + ( ^° )2 19 + ( 2 ° Í2 20 tem-se: 

a) 5=24° b) S = 9 10 c) S= 20 20 d) S=20! e) nenhuma das anteriores. 

TE. 80 (CESCEA-69) Simplificando-se (1 - /5) 5 - (1 + /5) 5 obtém-se: 

a) 160 b) -160 / 5 c) 160 JT d) - 50 Jb e) -360 /IT 


TE.81 (ITA-68) Sejam a e b dois números reais quaisquer e p um número primo. A igualdade 

(a ± b) p = a p ± b p é verificada se: 

a)a = b=1 b)aeb são primos entre si c) b = P.A. 

d) x • p = 0 para todo número real x e) nenhuma das respostas acima. 


138-E 


TE.82 (CESCEA-72) O valor numérico da expressão 

x n + ( " ) x n_1 y + { ” ) x n ' 2 y 2 + ... + y n para x = y = 1 é: 

a) 2 n_l b) 2 n c) 2 n + l d) 2 2n e) não sei. 

TE. 83 (CESCEM-74) A soma S = (x 3 - 1 ) 4 + 4(x 3 - 1 ) 3 + 6 (x 3 - 1 ) 2 + 4(x 3 - 1 ) + 1 
é igual a: 

a) x 12 b) x 12 - 4x 9 + 6x 6 - 4x 3 + 1 c) x 12 + 4x 9 + 6x 6 + 4x 3 

d) x 12 + 1 e) x 12 + x 6 + 1 

n 

TE. 84 (GV-73) O valor de Y ( n ) (2) x (3) n_x é- 

X 

X — 0 

a) 6 n b) 5 n c) 1 d) 2 n 

e) impossível de se calcular por vias elementares. 

TE.85 (ITA-73) Sejam n E N + ( p £ N onde N = {o, 1 , 2, ...}, N + = {l, 2, 3, ...} 
n 

Então Y (-1 )P" n (-1 ) p (-1 ) n ‘ p ( " ) vale 

p 

P = 0 

a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) nenhuma das respostas anteriores 


TE. 86 (EPUSP-68) Seja A n = ^ ( ° )(2 p 3 n_p - 4 P ). Então para todo n >0 tem-se: 

P = 0 P 


a) A n = 0 b) A n = 2 n 3 n - 4 n 


c) A n = n 


d) A n = ( " K " ) - (") 


e) nenhuma das anteriores 


n 

TE.87 (CESCEM-74) (p + q) n = £ ( ? ) p‘q n '' . n >0 

i = 0 ' 

Se p >0, q >0 e p + q = 1, podemos concluir que o valor de ( . ) p 1 q nH 
a) só é menor do que 1 para i < — b) só é maior do que 1 para i > — 

c) só é menor do que 1 para i > ^ d) só é maior do que 1 para i < -j 

e) é sempre menor do que 1. 


TE. 88 (ITA-71 ) Seja P(x) = a 0 + a^ + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ... + a 10 ox 100 , onde a 10 o = 1, um poli- 
nómio divisível por (x +9) 100 . Nestas condições temos: 

100 T 99 í iqqI 92 

a) a 2 = 50 X 99 X 998 b) a 2 = g ^r c) 32 = 2! 98! d) a 2 = 2 ; 93; 

e) nenhuma das respostas anteriores 


139-E 




140-E 


TE.97 (MACK-76) O coeficiente do termo em x 3 , no desenvolvimento de [V^il 6 tf: 

X 

a) 1 b) 6 c) 10 d) 15 e) inexistente 

TE. 98 (MACK-76) O coeficiente do termo em x 2 de ^ - ^) 12 é: 

a) 14.080 b) -1 782 c) 924 d) -352 e) nenhum dos anteriores 


TE.99 (GV-74) No desenvolvimento de (x 3 +y 2 ) 10 ,o coeficiente do termo médio é: 


a) 630 


c) 252 d) 210 e) nenhuma das anteriores 


TE. 100 (ITA-73) O coeficiente de a n +1 “ p b p no produto de 


a k + <*)a 


^ Ja^ 1 b + ...+ ( k )a k * p b p + ... + b k por (a + b), se k = n, vale: 


a) ( ) 

P 


b) ( n+1 ) c) r- 1 ) d) < n + ' 

p p p + 1 


e) nenhuma das anteriores 

2 

TE. 101 (SANTA CASA-77) No desenvolvimento do binômio (x + — } 8 o termo independente 
de x é o: 

a) 4? b) 5? c) 6? d) 7? e) 8? 


TE. 102 (CESCEM-74) O coeficiente do termo independente de x no desenvolvimento de 
(x - 1)S17 è: 

X 

a) /517\ b) / 51 y\ c) _^5lA d) 0 e) 1 

\259/ \ 258 y \259/ 

TE.103 (FFCLUSP-69) — Qual o valor do termo independente de x no desenvolvimento de: 


a) -20 b) 8 c) 20 d) 40 e) -40 


TE.104 (CESCEM-67) O desenvolvimento de (x + ) n tem um termo independente de x. 

a) se n é par b) se n é impar c} se n é divisível por 3 

d) qualquer que seja n diferente de zero 

e) nâo existe nenhum valor de n nestas condições. 


TE. 105 (MACK-75) Um dos termos no desenvolvimento de (x + 3a) 5 é 360x 3 . Sabendo se que 
a náo depende de x, o valor de a é: 

a) ±1 b) ±2 c) ±3 d) ±4 e) ±5 


141-E 



TE. 106 (M ACK-75) O número de termos racionais no desenvolvimento de (2 V 3 + V 5) 10 é: 
a) 8; b) 6; c) 4; d) 2; e) 0. 

TE. 107 (MACK-73) Abaixo estão 5 aproximações do número (1.003) 20 . Usando o binômio de 
Newlon é possível determinar a melhor delas, que é 

a) 1 b) 1,01 c) 1,03 d) 1,06 e) 1,0003 

TE. 108 (CESCEA-74) Quando você desenvolve (5x + 2y) 5 pelo binômio de Newton aparecem 
coeficientes numéricos e potenciais de x e y. A soma dos coeficientes numéricos é: 

a) 15821 b> 16890 c) 16807 d) 13805 e) não sei. 

TE. 109 (GV-71) Sabendo-se que a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x + a) p é 
igual a 51 2, p vale: 

a) 8 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 

TE. 110 (GV-72) A soma dos coeficientes dos termos de ordem ímpar de (x - y) n é 256. Então 
o valor de n é: 

a) 9 b) 8 c) 7 d) 4 

e) nenhuma das alternativas anteriores 

TE. 111 (ITA-74) A condição para que ( ^ } seja o dobro de ( ^ n ^ ) é que: 

a) n + 1 seja múltiplo de 3 b) n seja divisível por 3 c) n - 1 seja par 

d) n = 2k e) nenhuma das respostas anteriores 

TE. 112 (PUC-72) Os valores de m, para os quais ( 1 \)= ( - ^ ^ ) são: 

m - 1 2m - 3 

a)m = 1,m = 2 b) m = 3, m = 4 c) m = 2, m = 5 

d) m = 3, m = 2 e) nenhuma das anteriores. 

TE. 113 (GV-71 ) Sendo m, p e q números inteiros e positivos com q <p e ( m ) = ( m ) 

p + q p - q 

então: 


a) m = p +q b) m 

= 2 (p + q) c) 

m = 2p d) 

P= 2q 

e) m! = p! + q! 

TE.1 14 IPUC-76) Se 1 m ~ ] ) 

, m . 

= 10 e ( ) 

= 55, então ( 

m - 1 

é igual a: 

P - 1 

m - p 


P 


a) 40 b) 45 

c) 50 

d) 55 

e) 60 



TE.115IEAESP-GV-77) Seja W o conjunto dos números inteiros positivos. O conjunto de todos 

os n E N, n > 2 e para os quais ( ” } = ( " ^ 1 ) + ( " 2 1 * é 0 conjunto: 

a) { 3 } b) {3, 5} c) {3, 4} d) {nEN ln>3} 

e) {3,4,5} 


142-E 


TE.116 (GV-72) Assinale a afirmação falsa 

,n.,n + 1. • . ^ 

3j 'p^ + 'p + i^^^p + ^' quaisquer que sejam os naturais n e p com n ^ p 

b) (n + 5)í - n! = 5Í, para todo natural n 
, <n + 1)! 1 

C) Õ7T3)T = (n + 3)(n + 2) ' para todo natural n 

d) ( p ) = ( n _ p ) , quaisquer que sejam os naturais nep, com n ^ p 

e) n!(n+1) = (n + 1 )!, para todo natural h 

TE.117 (CESCEA-75) Uma pessoa possui um certo número m de objetos distintos. Agrupando-os 
3 a 3, de modo que cada grupo difira do outro por possuir pelo menos um objeto diferen- 
te, obteve o mesmo número de grupos se os juntasse 5 a 5, do mesmo modo. 

Então ( ) é: 

a) 35 b) 84 c) 120 d) 56 e) 10 

TE. 118 (CESCEA-74) Um estádio tem 10 portões; de quantas maneiras diferentes o estádio es- 
tará aberto? 

a) 1200 b) 1023 c) Cjo i d) C^q j • Cio 10 

e) não sei. 


TE. 1 19 (CESCE A-67) O somatório ^ (k) é igual à 

k = 0 

a) 34572 b) 34571 c) 2048 d) 2047 


e) nada disso 


TE. 120 (MACK-74) O termo independente dexem (1 + x+ — ) 3 é: 

x 


a) 1 

b) 10 


c) 11 

d) 

12 e) 13 

TE. 121 (PUC-76) O coeficiente de 

X» 

no desenvolvimento de 

(1 + x 2 - x 3 ) 9 , é: 

a) 3<| 

■ * ^ 

b) 


c) 

2<3> +2, 4' 

g 

d) r> 

g 

+ 4 r ) 

e) 

<!> * 31?) 




3 4 3 4 

TE. 122 (ITA-68) Sejam a 1( a 2 a n números reais A expressão (ai + a 2 + + a n ) 2 é igual a: 


a\ + 4 5^ aj 
j= 1 


11 

i 1 1 

1 = 1 Í= 1 


C> Yj a\ + ( " ) Yj a i 
i=1 i=1 

e) nenhuma das respostas anteriores. 


n 11 

a i a j) 

i- 1 j= 1 


143-E 



PROBABILIDADE 


TE. 123 (CESCEA-76) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento reti- 
rada de uma bola, e considere os eventos: 

A = {a bola retirada possui um número múltiplo de 2} 

B = {a bola retirada possui um número múltiplo de 5} 

Então, a probabilidade do evento A U B é: 


TE.124 (CESCEM-70) Numa cidade com 1 .000 eleitores vai haver uma eleição com dois candi- 
datos A e B, É feita uma prévia em que os 1.000 eleitores são consultados, sendo que 
510 já se decidiram, definitivamente, por A. Então a probabilidade de que A ganhe a elei- 
ção é: 

4Q0 

a) 0,5 b) 1 c) 0,51 d) 

510 

e> nao pode ser calculado porque não é dado quantos eleitores entre os restantes 490 es- 
tão ainda indecisos. 


TE. 125 (CESGR ANRIO-77) Um juizde futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, 
outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num de- 
terminado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso eo mostra a um jogador. A 
probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao joga- 
dor, ser amarela é: 





TE. 126 {CESCEM-67) Um dado especial em forma de icosaedro, tem suas 20 faces numeradas da 
seguinte forma: duas das faces têm o número zero; as 18 restantes têm os números, 
-9, -8, -7, ..., -1 , 1,2, ..., 9. A probabilidade de que, lançando dois destes dados, tenha- 
mos uma soma do número de pontos igual a 2 vale: 



TE. 127 (CESCEA-68) Jogando-se 3 dados (ou um dado 3 vezes) qual a probabilidade de obter- 
mos soma menor ou igual a 4? 


TE.128 (CESCEM-71 ) Um experimento consiste no lançamento de um cubo cujas faces estão 
numeradas de 1 a 6. Seja Ej o evento: sair a face que contém o número i(i = 1,2, 6). 

Seja, ainda, P(E ,) a probabilidade de ocorrência do evento Ej, onde P(Ej) = ~ 
Suponhamos construída a teoria das probabilidades baseada nos três axiomas: 


144-E 


(I) 


P(A) > 0 
P(S) = 1 (II) 

P(B U C) - P(B) + P(C) (III) 

onde A, B e C são eventos do espaço amostrai S; B e C são eventos mutuamente exclusi- 
vos. 

Nestas condições, as probabilidades definidas no experimento anterior; 

a) não satisfazem a nenhum dos três axiomas. 

b) satisfazem somente ao axioma 1. 

c) satisfazem somente ao axioma III, 

d) satisfazem somente aos axiomas I e II. 

e) satisfazem aos axiomas I, 1 1 e 1 1 1. 


TE.1 29 (CESCEM-71 ) Em um espaço amostrai {A; b} as probabilidades P(A) e P(B) valem, 

1 2 

respectivamente, — e . Assinale qual das alternativas seguintes NAO é verdadeira: 

O o 

a) A U B = S b) Ã U B - 0 c) AHb= ÃflB 

d) Ã U B = B e) (A O BI U (A U BI = S 


TE. 130 (CESCEM-70) Dois indivíduos A e B vão jogar cara ou coroa com uma moeda honesta. 
Eles combinam lançar a moeda 5 vezes e ganha o jogo aquele que ganhar em 3 ou mais 
lançamentos. Cada um aposta 28 cruzeiros. Feitos os dois primeiros lançamentos, em 
ambos dos quais A vence, eles resolvem encerrar o jogo. Do ponto de vista probabilístico 
de que forma devem ser repartidos os 56 cruzeiros? 

a) metade para cada um 

b) 42 para A e 14 para B 

c) 49 para A e 7 para B 

d) tudo para A 

e) nenhuma das anteriores 


TE. 131 (COMBITEC-COMBIMED-75) Um indivíduo retrógrado guarda seu dinheiro em um 
açucareiro. Este contém 2 notas de Cr$ 500,00, 4 de Cr$ 100,00, 5 de Cr$ 50,00,8de 
Cr$ 10,00e 3 de Cr$ 5,00. Se o indivíduo retira do açucareiro duas notas simultanea- 
mente e ao acaso, a probabilidade de que ambas sejam de Cr$ 50,00 é 


e) 


25 

484 


TE. 132 (CESCEA-71 ) Tirando-se, ao acaso, 5 cartas de um baralho de 52 cartas, a probabili- 
dade de sair exatamente 3 valetes é: 


» gj »> 


4 ' ^ 48,2 
C S2,5 


4 * CS2,2 

C 52.S 


TE. 133 Em um jogo existem 50 pares de figuras (cada par é formado por duas figuras iguais). 
O primeiro jogador tira sucessivamente duas cartas. A probabilidade de obter um par é 


J_ x J_ 

100 99 


1 J_ 

100 + 99 


145-E 



TE. 134 (FUVEST-77) Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 9. Sorteiam-se, com reposi- 
ção, duas bolas. A probabilidade de que o número da segunda bola seja estritamente 
maior do que o da primeira é: 


\ 72 IV 1 

a) - b) - 



e) 


45 

81 


TE. 135 (FUVEST-77) Numa urna são depositadas n etiquetas numeradas de 1 a n. Três eti- 
quetas são sorteadas (sem reposição). Qual a probabilidade de que os números sorteados 
sejam consecutivos? 


(n-2)! 


(n - 2 )! 3! 


e) 6(n - 2) (n - 1 ) 


TE. 136 (SANTA CASA-77) Numa gaveta há 10 pares distintos de meias, mas ambos pés de 
um dos pares estão rasgados. Tirando-se da gaveta um pé de meia por vez, ao acaso, a 
probabilidade de tirarmos dois pés de meia do mesmo par, não rasgados, fazendo 2 
retiradas é: 


e) 


18 

380 


TE.137 (CESCEM-71 ) Em uma sala existem 5 crianças: uma brasileira, uma italiana, uma 
japonesa, uma inglesa e uma francesa. Em uma urna existem 5 bandeiras correspon- 
dentes aos países de origem destas crianças: Brasil, Itália, Japão, Inglaterra e França. 
Uma criança e uma bandeira são selecionadas ao acaso, respectiva mente, da sala e da 
urna. A probabilidade de que a criança sorteada não receba a sua bandeira vale: 



TE. 138 (CESCEM-70) De um total de 100 alunos que se destinam aos cursos de Matemática, 
Física e Química sabe-se que: 

1. 30 destinam-se à Matemática e destes, 20 são do sexo masculino. 

2. O total de alunos do sexo masculino é 50, dos quais 1 0 destinam-se à Química. 

3. Existem 10 moças que se destinam ao curso de Química. 


Nestas condições sorteando-se um aluno ao acaso do grupo total e sabendo-se que é 
do sexo feminino, a probabilidade de que ele se destine ao curso de Matemática vale: 






e) 1 


TE.1 39 (CESCEM-71 ) Têm-se duas moedas das quais uma é perfeita e a outra tem duas 
caras. Uma das moedas, tomada ao acaso é lançada. A probabilidade de se obter 
cara é: 



c) estritamente maior do que — , não se podendo afirmar mais nada. 



146-E 


(CESCEM-71) Sabendo-se que os erros de impressão tipográfica, por página impressa, 
se distribuem de acordo com as seguintes probabilidades: 

N? de erros por página probabilidades 


0 0,70 

1 0,15 

2 0,10 

3 0,02 

4 0,02 

5 ou mais 0,01 


Nestas condições: 


TE. 140 A probabilidade de que numa página impressa existam estritamente mais do que três 
erros tipográficos vale: 

a) 0,05 b) 0,03 c) 0,02 d) 0,0003 e) 0,0002 


TE.141 A probabilidade de que em duas páginas impressas existam no total exatamente 
quatro erros tipográficos, vale: 

a) 0,0200 b) 0,0270 c) 0,0440 d) 0,4900 e) 0,7000 


TE. 142 (CESCEM-70) Em cada extração de uma certa loteria, concorrem 40 000 bilhetes. 
Um indivíduo foi agraciado com 10 000 bilhetes, com os quais ele vai concorrer, 
podendo, se quizer, dividir os 10 000 bilhetes em duas partes, da maneira que bem 
entender, para concorrer em duas extrações. Como deve ser feita a divisão para que a 
probabilidade dele ganhar pelo menos uma vez seja máxima? 

a) todos os bilhetes numa extração só 

b) 5 000 em uma e 5 000 em outra 

c) 2 500 em uma e 7 500 em outra 

d) 1 250 em uma e 8.750 em outra 

e) nenhuma das anteriores 


(CESCEM-68) A tabela abaixo, dá a distribuição de probabilidades dos 4 tipos de 
sangue de indivíduos numa comunidade. 



TE.143 A probabilidade de que um indivíduo, sorteado ao acaso, desta comunidade tenha o 
tipo sanguíneo O vale: 

a) 0,267 b) 0,65 c) 0,80 d) 0,95 

e) nenhuma das anteriores 


147-E 




TE. 144 A probabilidade de que dois indivíduos, sorteados ao acaso, desta comunidade, tenham 
um o tipo A e outro o tipo B, vale: 

a) 0,60 b) 0,18 c) 0,04 d) 0,02 e) 0,30 

TE. 145 A probabilidade de que um indivíduo sorteado ao acaso, desta comunidade, não 
tenha o tipo B ou não tenha o tipo AB vale: 

al 0,855 b) 1,85 c) 0,850 d) 1,0 

e) nenhuma das anteriores 

TE.146 (CESCEM-68} Uma urna contém, 1 bola preta e 9 brancas. Uma segunda urna contém 
x bolas pretas e as restantes brancas num total de 10 bolas. Um primeiro experimento 
consiste em retirar, ao acaso, uma bola de cada urna. Num segundo experimento, as 
bolas das duas urnas são reunidas e destas, duas bulas são retiradas ao acaso. O valor 
mínimo de x a fim de que a probabilidade de sairem duas bolas pretas seja maior no 
segundo do que no primeiro experimento é: 

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 9 



TE. 148 (CESCEA-74) Lançando-se 4 vezes uma moeda honesta, a probabilidade de que 
ocorra cara exatamente 3 vezes é: 

a) -j- b) c) 7 “ d) e) não sei. 

4 16 16 4 


TE.149 (CESCEM-71 ) Em um jogo de cara ou coroa, em cada tentativa, a moeda é lançada 3 
vezes consecutivas. Uma tentativa é considerada um sucesso se o número de vezes 
que se obtém cara supera estritamente o número de vezes que se obtém coroa. A 
probabilidade de se obterem 2 sucessos nas 2 primeiras tentativas é: 



148-E 


RESPOSTAS 


TE.1 b 

TE. 38 e 

TE. 75 b 

TE.1 12 c 

TE.2 c 

TE .39 b 

TE. 76 c 

TE. 113 c 

TE. 3 c 

TE.40 a 

TE.77 d 

TE.1 14 b 

TE. 4 e 

TE. 41 e 

TE.78 e 

TE.1 15 d 

TE. 5 c 

TE .42 b 

TE .79 b 

TE.1 16 b 

TE. 6 d 

TE. 43 b 

TE.80 b 

TE.1 17 d 

TE .7 b 

TE.44 a 

TE. 81 e 

TE.1 18 b 

TE .8 c 

TE.45 d 

TE. 82 b 

TE.1 19 d 

TE. 9 d 

TE. 46 c 

TE. 83 a 

TE. 120 e 

TE. 10 c 

TE. 47 c 

TE. 84 b 

TE. 121 a 

TE. 11 e 

TE .48 e 

TE. 85 b 

TE. 122 d 

TE. 12 b 

TE. 49 a 

TE .86 a 

TE. 123 d 

TE. 13 d 

TE .50 c 

TE. 87 e 

TE. 124 b 

TE. 14 a 

TE.51 a 

TE. 88 a 

TE. 125 e 

TE. 15 d 

TE.52 c 

TE .89 d 

TE. 126 d 

TE. 16 d 

TE.53 a 

TE.90 e 

TE. 127 e 

TE. 17 c 

TE .54 a 

TE.91 d 

TE. 128 e 

TE. 18 c 

TE. 55 a 

TE. 9 2 c 

TE. 129 b 

TE. 19 a 

TE.56 a 

TE.93 a 

TE. 130 c 

TE.20 d 

TE.57 b 

TE .94 b 

TE. 131 c 

TE.21 b 

TE. 58 d 

TE.95 b 

TE.1 32 b 

TE.22 d 

TE. 59 a 

TE.96 b 

TE.1 33 d 

TE.23 a 

TE. 60 a 

TE.97 d 

TE.1 34 c 

TE.24 d 

TE.61 a 

TE. 98 d 

TE. 135 d 

TE. 25 d 

TE.62 a 

TE. 99 c 

TE. 136 e 

TE.26 d 

TE. 63 c 

TE. 100 b 

TE.1 37 d 

TE. 27 d 

TE .64 b 

TE. 101 b 

TE. 138 a 

TE. 28 d 

TE. 65 c 

TE. 102 d 

TE. 139 d 

TE.29 c 

TE. 66 d 

TE. 103 a 

TE. 140 b 

TE. 30 b 

TE. 67 e 

TE. 104 c 

TE. 141 c 

TE.31 b 

TE. 68 c 

TE. 105 b 

TE. 142 a 

TE. 32 c 

TE .69 c 

TE. 106 b 

TE. 143 b 

TE. 33 a 

TE.70 e 

TE. 107 d 

TE. 144 c 

TE. 34 b 

TE.71 d 

TE . 108 c 

TE. 145 d 

TE. 35 d 

TE. 72 c 

TE. 109 c 

TE.146 c 

TE. 36 a 

TE. 73 c 

TE. 110 a 

TE.1 47 c 

TE .37 a 

TE.74 c 

TE. 111 e 

TE. 148 d 
TE.149 a 


149-E